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On pouvait arriver directement «à ce dernier résultat en observant que PM = N.

Si la substitution qui transforme U en V était orthogonale, on aurait évidemment

formule connue.

3 °. Supposons que dans les deux fonctions quadratiques U, V l’on ait

«r,i = (h,r — 7r>« 7 m + Hr,l 7 i.a + • • • + 7'.« 7*,">

Ar,, == A,, r — 7i,r 7 m "4“ 7 J » r 7 m ~4“ * * • “b 7"> r 7 | >.*>

dans ce cas, les deux fonctions sont équivalentes, c’est-àdire peuvent se réduire à une même fonction par le moyen d’une substitution linéaire. En effet, soit H le déterminant

d’après (67), on aura

c’est-à-dire les déterminants P, N que l’on obtient en effectuant le carré du déterminant H par lignes ou par colonnes seront égaux en valeur absolue, mais de formes différentes. L’égalité des deux fonctions U, V sera démontrée lorsqu’on aura mis en évidence celle des coefficients des memes puissances de X dans les deux équations du n ieme degré

0 2f2 — ï.*. flj,n

Aj,, Aj # 2 — X...

2 • • • Gn,n ~~

A n ,i An,} ...

Or le coefficient de X" 1 dans la première équation est formé par la somme des déterminants mineurs principaux du rri ime ordre du déterminant P, et le coefficient de X m dans la seconde, équation n’est autre que la somme des déterminants mineurs principaux du m ii,ne ordre du déterminant IN. Et comme d’ailleurs

(«) Pr>r = (C")H,.,)*4- (<->H m )* -K . (« M) H

il en résultera

c’est-à-dire que les coefficients de X m dans les deux équations en question seront identiques.

Exemple . — Les ellipsoïdes représentés par les deux équations

(«I x+bi JT-+- c, z) 2 4* (a 2 x- f- bif-hCi z)’4- + + z)-= k\

(*i x~\-a 2 y -f a 3 z) 1 4- [b , x b 2 y 4- b z z) 2 4- (c, x 4- c 2 jr 4- c 3 z) 2 = k\

sont égaux entre eux (*).

(*) Nouvelles Annales de Mathématiques rédigées par M. Tekquem. Juillet 1 853.

4 °. Le système d’équations algébriques linéaires

ûi,i X| 4 ~ ^i,a x 2 4 “ • • • 4 ~ x, = U | ,

<*2,1 X I 4“ <*2,2 + • • • 4- Cil, s X, — «2 î

<*«, t X| 4~ ci Kf j x 2 4“ • • • 4~ ci„ tS x, — u n ,

dans lequel n^> s , est nommé système surabondant , par la raison qu’il est composé d’un nombre d’équations supérieur «à celui strictement nécessaire pour la détermination des inconnues.

Supposons que les quantités Uj, u,,..., u n soient liées par les 5 équations

/ Ci,t «i 4- c 2 ,i w 2 4- . . • 4- c«,i — p,, ’ C| , 2 «i 4- c a>2 Mj —h . . . 4- c „ t 2 u n = c» 2 ,

C|,i W| 4~ C 2 ,j Wj 4“ • • • 4” Cn,s •

En substituant dans ces dernières équations pour u u u,,..., leurs valeurs données par (68) , on obtiendra

OÙ