CH

cl H

Hx, p,

t- ^2 ■jV - 4 - •

dhj, 2

H représentant le déterminant

"i,i h\,"i • • • ^i,i "î,» hi.i' • • ^î,j

At,i Af,a* • • h Sj s

et si dans ces dernières on met à la place de v x , leurs valeurs données par (69), on obtient

H «^i — X'i.j tt\ -+- f(i,t Wj -h. • • - 4- &i, n ll m

H X 2 = Æj,| M| -f- X’o.a «2 -+“ • • . -+• À 2 ,n u m

H JC, = k s>x U { -+- /*, ( 2 «a •+•. • • “f* k ttn U n ,

dhf t \ ' dh r , 2 ^ ^ dh r „

Maintenant si Ton observe que par (71) on a

il en résulte

dh r , t

da it r dU

da it r ’

et en substituant,

da ltX

da if 2

d(iy, s

da 2 ,2

da„, {

*+* • • • ~f" Wfl

da n>s

Le déterminant H est un déterminant mineur

principal

de l’ordre ( n — du déterminant R (équat. 28); par conséquent, en le représentant, conformément aux conventions du § VII, par le symbole (n - f) R UjU , on aura, semblablement à (61 ) ,

H = (^)R u , tt = 2 r >P„, r

Par là, les équations (72) prendront la forme

I JC, 1, ( n -')Pu,r fn ~ 5) Q U ,r = «. 2 r !n -*)Q u>r ^

da Ht , d ( n— J )P

JP, 2r <"-*>Q.,r = «, 5r —J — + . . -

+ «, 2 r WQ lir — — l^ r ,

da n>7

X s 2 r O-^Pu.r (n - 5) Q«,r = «■ 2 r

d ("-'IPg.r da ltS

d («- >P , ff dcin, S

Observons que le déterminant (n,) P Ujr contient seulement un nombre s * des éléments qui constituent le déterminant P, et que les premiers indices de ces éléments ne peuvent se trouver parmi ceux de la combinaison u . En représentant par

fl p 1 fl p 1 • * • fl p 1 r l» 1 r s * 1

le déterminant (M-r) P„, r , les équations (73) se transforment

-+- Kf

d (— »)P„, f tla r j

r - <fe v ,

rf ^-^Pu.r

r l9 /t 9 ..., r, étant des nombres différents entre eux et appartenant à la série r, 2 ,. . . , «.

Si maintenant on prend 5 des équations (68) , par exemple celles où les u x , u 2 ,..., ont les indices r, , r 2 , . . . , r 0 pour en déduire les valeurs de x x , X,, on a

d ( n — *)P // (n-iJP

d ("-OP d («— • Op

1 da r j

d ( n ~' f )P d (»— ■ OP

* da r ,

les x t , a:* étant placées entre parenthèses pour rappeler qu’elles sont déduites d’un système surabondant. Du rap-

prochement des équations (74)1 (7$), il résulte

Zr <-*>P« . r (n - f) Q u >r (fi ) 2 r C'-^Qlr

^ r^Pu.r ( *- S) Qu,r( x2 )

Zr V'-'lPu.r < n ~ S) Qu.r

et si les coefficients des x t , x if . . . , dans les équations (68) étaient respectivement égaux à ceux des ?/, , z/ # ,. . dans (69), on aurait

ïi- (vc.)

Zr (("-*)P M ,r) > (*,) 2 r( ( — J r) Pu,r) î '

§ VIII. — Des déterminants gauches et des déterminants

symétriques.

Un déterminant P dont les éléments satisfont «à l’équation

"ri, -h a s. r = O

se nomme déterminant gauche. Et si en meme temps ces éléments satisfont à cette autre condition

(lr,r — — O y

le déterminant gauche est dit symétrique .

La considération des déterminants gauches symétriques doit précéder celle des déterminants simplement gauches, par la raison que ces derniers peuvent s’exprimer au moyen des premiers. Pour démontrer cette propriété, observons qu’en général un déterminant P quelconque peut être ex-

primé au moyen de déterminants dans lesquels les éléments principaux sont nuis. Effectivement, en désignant par P 0 le déterminant dans lequel on suppose égaux à zéro tous les éléments principaux, et par ( (w,) P 4j ,)o un déterminant mineur principal du m l " nr ordre du déterminant P, dans lequel déterminant mineur on suppose aussi nuis les éléments principaux, on a évidemment

P= % Po-4- 2 r *r,r

— f— Qr,r flf.t d i,r)o I ' • • • H - d\ t \ • • l ^n,n

Exemple .

a. pi 71 a 2 Pî 7 j

a 3 Ps 7->

aj o

Actuellement si le déterminant P est gauche, il est clair que les déterminants mineurs principaux ( ( "^P/,,)o sont gauches symétriques , ce qui met en évidence la propriété énoncée.

Les déterminants gauches symétriques se distinguent de toute autre espèce de déterminants par les deux propriétés suivantes qui leur sont particulières.

i°. Tout déterminant symétrique gauche d’ordre impair est égal à zéro. En effet, observons que le développement du déterminant P supposé gauche symétrique et d’ordre impair contiendra les deux termes

ftr— 1 , 54-1 • • •

fl r+ 1,3* • '

^n,îfl ♦ • •

<<\.r Os . ,

Oi,.\

Os — 1,3 • • •

Os — 1 ,r — l

Os— l.r-f-i • • •

Os — i,n

Os-\-',r +- 1 • • •

Os-hl,n

On,'.

On,r—i

On,r -\- 1 * • •

Maintenant si l’on multiplie les éléments de chaque colonne de ce dernier déterminant par — i, qu’on observe que ces memes colonnes sont en nombre impair puisque n est impair, et qu’on ait égard à la relation a rjS -4- a^ v = o, ce second terme pourra s’écrire

— f— 0\ ,r Os,\

Or — 1,2

Or-+-\,i ...

Oi.s— t

Or+ l,s — 1 • • •

On, s — >

Oi,s+\ • • •

Or+i,s+\ 4 4 •

Or—\,n

Or-\-\,n • » •

et comme ce dernier déterminant est identique au déterminant du premier terme, et que a Vfi û lvf = a ijr a SjX , ces deux termes se détruisent mutuellement. Par conséquent, il ne restera dans le développement dont il s’agit que les termes de la forme

Oï,r~y

Oi,r-h\ • * •

Or — 1,2

Or — 1,3 • * •

Or — l,r-H 4 » 4

Or — l ,n

Or-h 1,»

ÛV-H,3 • • ♦

Or+\,n

On, 2

On, 3 • 4 4

On,r — 1

On,r+-t • • •

Mais ce dernier déterminant est symétrique gauche et d’ordre impair ( n — 2 ) ; par conséquent, tout déterminant symétrique gauche et d’ordre impair sera nul quand il en

sera de même du déterminant symétrique gauche du troisième ordre. Or le développement de ce dernier déterminant étant

la proposition est vraie pour le cas général.

2°. Un déterminant gauche symétrique d’ordre pair est un carré. En efïet, le développement du déterminant P contiendra les termes

«fl, 2

«J-H, fl

«fl, J— t

Les coefficients de a‘ r , a\ dz 2 a^ r peuvent se re-

présenter respectivement par

da, t r da r ,x da lpS da s l) dn Kr dn sA

on a

Maintenant, par Ja formule (i4)j

dii\ t r da Fi | dfi[ t r da r>l dn itS dci St \ dci\ ti dci ti \

</r7 l>r r/fl,., r/tf l>r r/«, (1

a cause que — o, comme étant un déterminant gauche

symétrique d’ordre impair. Ces équations , en faisant attention à celle-ci :

d&r,s do St ,.

qui a évidemment lieu pour un déterminant quelconque symétrique gauche d’ordre pair, donnent la suivante :

/ r/*P V d 7 P d 1 P \r/r7,, r da S ' K ) ~ da t>r da r ,> da ltS da t

qui met précisément en évidence la propriété que possède le déterminant P d’ètre un carré.

Par là , le développement du déterminant P pourra être présenté sous la forme

ou plus généralement

expression dans laquelle il faut faire, après les différentiations, = a > u 2 = . . .= o. Il est bon de remarquer que

le déterminant ; — est un carré, comme-étant svrné

da rtr da S ' S J

trique gauche et d’ordre pair n — 2.

Exemple. — Supposons

on aura

a it2 0

c’est-à-dire

P — ( a li2 —

En désignant par H la racine carrée du déterminant P, il est important de démontrer que cette quantité jouit d’une propriété analogue à l’une des propriétés principales des déterminants. En différentiant l’équation P = H* par rapport à a r>n il vient

dP dtt .

da r>i da ri

où l’on n a pas mis dans le second membre le coefficient 2, à cause que dans le premier la dérivée de P par rapport à a r , représente le déterminant du (n — ordre que l’on déduit de P en supprimant la s ième colonne et la ligne, c’est-à-dire en n’ayant pas égard à ce que a PjS = — a s ^ r \ tandis qu’au contraire celte relation est prise en considération quand on différentie l’expression algébrique de H. En élevant au carré l’équation précédente, on a

et comme

il en résulte

, rf'P |

dfir.r dtl Sti

\da r , s )

' /ïp y

da r>T da SjS )

da r .

Cette valeur substituée clans (77) donne

et, par suite,

équation qui exprime une propriété de la fonction H analogue à une propriété connue des déterminants.

Mais la propriété caractéristique de celte fonction H réside dans le changement de signe qu’elle subit lorsqu’on permute les deux indices. Permutons en effet dans H les deux indices r, s; comme dans les termes de cette fonction qui contiennent l’élément a r s ne figurent pas d’antres éléments affectés de ces mêmes indices, si l’on désigne par Hj ce que devient H après la permutation mentionnée, on aura

da r , s du r

Or quand on effectue cette permutation dans le déterminant P, il 11e change pas de valeur et se ramène aisément à sa forme primitive 5 par conséquent, d’après l’équation (78) , on aura

da r>s ‘ da r> ,

et, par suite,

Il est évident que si l’on permutait deux groupes d’indices, le signe et la valeur de H resteraient les mêmes.

Application.

Désignons par q x , . . . . <y„, n variables indépendantes

en fonction .desquelles sont exprimées les coordonnées des différents points d’un système en mouvement, par T la demi-somme des forces vives et par p x , p n les quantités

On sait que les formules pour la variation des constantes arbitraires, quand on a égard aux forces perturbatrices, contiennent des expressions analogues à l’une ou à l’autre des deux suivantes :

[«I , ai] = l r

( dp, dq r \düi da s

dp r d(f r \

da s dûij

( düi du, da i da s \

dp,. d(j r dq, dp,, y

où r doit recevoir les valeurs i, 2,..., 2 n , et où a in sont 2 n constantes arbitraires introduites par l'intégration des formules du mouvement, en y supposant nulles les forces perturbatrices. M. Cauchy a démontré (*) que ces expressions sont liées par 2 n groupes d’équations de la forme du suivant :

Cl*

• • 4“ Qr,în c i,7n O ,

• ♦ 4“ Or, m Cî,2n — —

• • 4- ttr,1n ^r,7n t y

Cj r.,.