aa/i 4- • • . 4- cc n y n — o

L’équation (j)3) conduit encore aux suivantes :

En différentiant la pénultième une fois, l’antépénultième deux fois , et ainsi de suite, puis ajoutant les résultats, il vient

Applications.

i°. L’équation

A = ,lx

peut s'écrire sous la forme

-j) db

rl/"'~‘ > + X " * ( "’ )

7, + K) * x - — Ce f Kn -' dx ’

ou bien , en posant

Observons que , d’après les relations qui régnent entre les coefficients d’une équation différentielle linéaire et les intégrales particulières de cette même équation , les expressions y x , y 2 , . . . , y n ~\ sont des intégrales particulières de l’équation

Y n H- Un~ijr n -+-

et que conséquemment, en vertu d’une propriété connue des équations différentielles linéaires, l’intégrale complète de l’équation (94) sera

y* — X\ <*1 H- y 7 «J H“ • • . -b Jn-t a„, ,

c f a; e /A " A| ” ri/"-'

Ainsi , connaissant n — 1 intégrales particulières ne équation différentielle linéaire du n ième ordre, on pourra déterminer la rï* mr au moyen des premières. Cet important théorème est dû à M. Malmsten (*).

2 0 . En désignant par x , y , z les coordonnées d’un point

(*) Crelle, Journal /ur die Matheniatik. Band 3ç>.

d’une ligne à double courbure, par r, p les rayons de courbure et de torsion, et faisant, pour abréger,

on a

dz XJ

les dérivées étant prises par rapport à l’arc. Pour détermi-

lier la courbe pour laquelle le rapport - est constant, on

dérive cette dernière équation, ce qui donne

mlx d^ +y dÿ’

, ~ , / , db r/A

-h 3m' ( x — ■ -f r -j— - \ ‘ dy xr

dz w

dz iv I

Mais des équations

on déduit

X* x ir y' y" 4- z'z xxr z= — 3 mm',

do:'"

rf A r/> J

dx xv J

t (dà „ dA\

A*'=-m(m — 4-om — ) *

et si l’on multiplie ces dernières respectivement par x',y', z ' , et qu’on ajoute les produits, il vient, en ayant égard à

et, par suite,

ax' -b by J -f- cz' — /• ,

a, c, A désignant quatre constantes arbitraires. La ligne cherchée sera donc une hélice tracée sur un cylindre dont les génératrices sont parallèles à une droite donnée (*)

§ X. — Des déterminants fonctionnels .

Soient y u y 2 , . . . , y n , n fonctions indépendantes entre elles de n variables X*,. . . ,3V, en formant les dérivées partielles du premier ordre de ces fonctions par rapport à chacuue des variables indépendantes, on obtient ?i* quantités analogues à ™ ~y r (jr,). Le déterminant

= s[±y, wy, ('»)•* -y; (*«)j

rK*i) y,(*»)« ■■/.(■*■)

se nomme déterminant Jonctionnel , ou déterminant des rivées partielles du premier ordre des fonctions y, ,jy 2 • «JO» par rapport aux variables x t1 . . . , x n .

L’ordre du déterminant fonctionnel est égal au nombre des fonctions, et il ne devient moindre que lorsque quelques-unes des fonctions coïncident avec certaines des variables indépendantes. Par exemple, si l’on avait

J r-f-l — Xr-h I > J r-+-i — x r+? »

le déterminant se réduirait «à

il serait conséquemment de l’ordre r.

(*) Monge, Application de V Analyse à la Géométrie, 5 e édit , Note I.

Si l’on déduit des équations

Y i (*^i > ) y \ y y a ( & « , J • • • > y .Xa j • • • j

^"n ( &\ f ^îj • • • > x n) — >

les valeursde jTj, :r 3v ..,.r, t et que l’on conçoive ces valeurs substituées dans les mêmes équations, on obtient par la différentiation

( /,(*■) *'. (xt) ■+- /(N x > bv) .r J (*»)<(>) = «, y, (*')■*', (x>) + x'r ( x =) lr<) +—+r' W<W =|| i

et si , dans la valeur trouvée pour x r , on met pour y x , ,

. . . , leurs valeurs , on aura les équations

D’après cela , si l’on représente par Q le déterminant

on aura par la règle de multiplication des déterminants

PQ = i .

Si dans la seconde des équations (96) on fait

on obtient n équations desquelles on déduit

Qj-V ( *,) = t— n — : )

rf.yov)

et semblablement de (97) on déduit

fl 1>

P^CrO =

rf-y,

par conséquent

K C r*)Sr (**) —

( io3 ) dl>

d-r'Mr) d.^fjTr)

En représentant par S le déterminant à éléments réciproques du déterminant P, et observant que pour / = o , r = $ , r-bc = tt-hi, l’équation ( 48 ) donne

Sji-h, n+i — P H ,„P r “ J ,

c’est-à-dire

X X Xl ) X r+\ (^-h)* • • X n (•*")] ^ 1-^- a U» a *»2 • ■ a r— !,r— l)*

Ou aura , d’après l’équation (99) ,

et semblablement

2 ChF • r r(/rK + , (jr +l ). • (j„)]

En dillférentiant le déterminant Q par rapport à y t , on a

~ ' d . .r. (j w ) r(rm dy s ’

ou bien, d’après l’équation (98),

dQ d*x r ,

d Xs

ou encore (100)

djr m dy t d r ,~^- r dv.

et t omme PQ = 1 , on aura

— + Pï, =0.

djs d.v r

Mais

dP rfP , , .

donc, en substituant, on obtiendra

d.P.v r (jr s )

Xr 7 i — °

ce qui , en vertu de (99) , peut s’écrire

(<oi)

d a.,, t t d a,, 2 da. Stn

dx n

Remarquons que, d’après cette dernière équation, l’expression de P, savoir

pourra se mettre sous la forme

p d.a ttl jr t ^ d.u. St - 2 y s ( t d.ct s>n y t

Supposons qu’entre les variables x x , x ix . . . , x n et les fonctions y x , y %y \ . . , y n , il existe les équations

<fn — O.

Si l’on déduit de ces équations les valeurs de y x ,

. . *,y n > «t qu’on les substitue dans ces mêmes équations, elles seront identiquement satisfaites, et l’on aura, en conséquence ,

j ( r] , <hl r- ( r ) y. J t r \— ‘7t.

dy, y ' W + dy, y 7*r)+-.- + d y/' W - dXr

Il en résultera par la règle de multiplication

(102) Pz =(— i)”Z A

■ ■ ■ ■ ■ • • » — ■ — ■ r/.f, r/.r 2 dx„

Application.

Soient A t , A*,. . . , A„, n fonctions des variables x , x ix . . . , x, n et considérons l’équation aux différences partielles linéaires et du premier ordre

(io3) A,/ r (.r,) 4 - A 2 /. (* r d 4- ... 4- K/ r (.r„) = o.

Supposons que y x , j*, . . . , / r __ t , j r+i , . . . , y n représentent n — i solutions indépendantes entre elles de cette même équation $ on aura par la substitution n — i équations identiques , d’où l’on déduira les proportions

Ai . Aj . « . . . A/| CC r> | . • . » • • 3 fr.ji*

En nommant M la valeur commune à tous ces rapports, on aura évidemment

et d’après l’équation (ioi) on aura

rfMA, diVlAj dM A n

d.r x d.r-i dx n

La quantité M qui jouit des deux propriétés exprimées par les deux dernières équations a été nommée par Jacobi (*) le multiplicateur de l’équation aux différences partielles (to3) ou du système aux différentielles ordinaires

( i o5) x\ : ,r, : . . . : .r n = a, : Aj : . . . ; A n .

(io4)

Supposons maintenant que

/ =: A,/,( .r, ) 4- Aï/, [.Ki ) 4- . . -4- ,

(lo5) /

/ B*= A, •>',{ .r, ) 4- Aî/ M (.rj) 4- ... 4- A „/„(.*«).

(*) Hialhcmalisçhc (Vrrkc. Ranci I.

où B,, sont des fonctions'de r,, y'*,... ,y ’„ . En dif-

férentiant ces équations respectivement par rapport à y t , y t , . . . ,y n , ajoutant les résultats et se rappelant que

' dy, ~ P d.v s ’

il vient

„ dB r i / dV k d P

(/.r, d.Tj

et comme PQ = i, il en résulte

i ÏE

i flQ

Q dx r

O11 aura encore

^ </B r / dQ d Q 4 (/Q

dy r \ (Lt , (/.r, (fa;

\<fa,

d Aj rf A/i

(fa,

Or, par (106) , on a, quel que soit M ,

d MQ

(/.MQ

dy n

(/.MQ

par conséquent, en ajoutant à cette dernière équation la précédente multipliée parM, il viendra

(/.MQB, ^ (/.MQB; (

(/ . MQB„

dy n