OA

dXr

on aura, pour cette valeur de M ,

d. MQB„| r/.MQB„

dy n -y <iy n

c’est-à-dire MQ sera, comme on sait, le facteur propre à rendre intégrable l’équation

et, par suite,

y MQ ( B„ y , n i — B„, y' n ) = const.

sera la dernière intégrale des équations (io5).

Il résulte de là que, étant données n — 2 intégrales des n — 1 équations (io 5 ), et connaissant une valeur de Mqui

vérifie l’équation (io8), la dernière intégrale desdites équations dépend simplement d’une quadrature. Cette propriété, découverte par Jacobi , a été nommée par le même auteur principe du dernier multiplicateur .

Voyons maintenant comment on pourra déterminer la valeur de M dans le cas du système des équations de la dynamique.

En représentant par T la demi-somme des forces vives, par U la fonction des forces, ces équations peuvent, comme on sait, se mettre sous la forme

( hl — d Al ~~ u ) d ±L—__ <MT— U)

(te dp r ? dt d(Jr

où il faut fai re

En posant

d.( T— U) dp r

ces équations reviennent à

• • : q n - Pi'-?* . : P « : Q.: Q*

Par conséquent l’équation analogue à (108), au moyen de laquelle se trouve déterminé le multiplicateur M correspondant à ce système d’équations, sera

d M d. MP, d. MP„ rf.MO,

de dtp dtj n dp y

dp 2 dp n *

équation qui , à cause de la relation évidente

dP r dO r

dfjr dp,.

se transforme dans la suivante :

dp t

dpn

Cette équation étant satisfaite quand on suppose M constante, ou, pour plus de simplicité, M égal à 1, il en résulte que le multiplicateur correspondant aux équations de la dynamique, mises sous la forme ci-dessus, est égal à l’unité.

En multipliant les équations

y n (jr,) «, 4- ÿ n (t 2 ) 11, -h . . . 4- y n (*« ) «„ = ,

respectivement par

on obtiendra, d’après (97),

« r = <>, *(y,) -h ( rO 4 - • . . 4- » tt x r (y,);

et pareillement , en multipliant les équations

/, (*,) «, 4 - y, (<*«)«» 4 -. . .4- y' (*.) «„ = ♦»,, y', (*,)«, 4 - y', (*,) «2 4-.. *4- ^(* 2 ) «„ = Pi,

para-’, (y r ), x, (y, *■'„ M, »» aura, d’après (pfi), «r = y (y r ) 4- y (jr)4- . • 4- <’n ^ (.?>)•

( no )

Posons

I y r ( x >) y s (*') ■+* y, ( Xj ) y s w ■+■ • • •

X \ (/O *\{y*) -+“ x\{jr t ) -h...

*+■ x n iXr) x H {Xs) — E r ,, = E f , r .

En faisant dans cette dernière équation s = i, 2, 3 , . > . , n, on obtiendra n équations, d’où l’on déduira , d’après ce qui a été démontré plus haut ,

*\ {Xr) = Er,.y, (•*■) 4 - E r ,j 7, (ar,) -h. . .+ E f)(l /; (*,),

■*, {Xr) = E r , t y, (j?a) H- E r ,,y, (a:,) -4- . . . -h E r ,„y n (or,) ,

y, (jr) = E r .,y, (*„) -4- Er., y, («*«) 4-. . .-h E r , n y n (x„).

Multipliant ces équations respectivement parj^^i),

y'r(x*)l--'>yr (*«)> 0U P ar /, (*l)*7^ (^)v ? y (*n),

et ayant égard à (96), (109), on obtiendra les deux suivantes :

Er, l Af,i i E r ,, A r> j "4“ • • . — f" E r , n A.r,n — i>

d’où, en posant

Aî,>

Aj.j . .

Em

Ej,.

Ej, 2 • •

En,i

En, 2 . .

on déduit (iio) KH

I A - 1 dH

H dE

i d K K dkj

Application.

Soit F une fonction des fonctions^, j"*,. . . , y n indépendantes entre elles, et soit posé, pour abréger,

on aura évidemment

X 2 = Y, y, (xi) 4- Y, y, (.r 2 ) 4 - ... 4 - Y„ ÿ n (x 2 ) 9

En multipliant ces équations respectivement parj^^i)» y. (x 2 ), . . . , ÿ r (x„) , et ajoutant les résultats, on obtient

(t 1 1) X, y. (x x ) 4~ X 2 y r (xi)-+- ... 4 - X„ y r (o: n ) = L r ,

où, à cause des équations (109),

L r — Yi A r ,i 4- Yj A,.,i 4“ . • *4” Y„ A,. >n ,

ce qu’on peut encore écrire, en vertu de (no),

dR , r dU __ dû

(112) HL r = Y, -tt; h Yj — h ... 4 - Y„

r/Er.

Si dans l’équation (ni), on fait r= 1, 2,. . ., n, on obtient n équations d’où l’on tire

I X, = L, x\ (7,) -j- L 2 x, ( y i) 4 - . • • 4 - L„ x t ( y n )i X 2 = L, x\ (yi) 4 - L 2 x\ (yi) 4 - ... 4- L n x 7 (y n )->

et 1 on déduit aisément de réquation (lia)

Li E r ,, -4~ Lj Er,« 4"* • • “H L n E r>n Y r .

En différentiant les équations (n3) par rapport à a**) . . . , x n respectivement et faisant la somme des résultats, on obtient

dX r d L, dL

dx r dy x dy 7

dU

dfn

dx r

dx r

d.x'r {y n ) dXr

ou bien, en vertu de (too),

^ !dX x dX, dX

\ dy x dy a dy n

équation que roi\ peut encore, à cause de PQ = i, écrire sous la forme

dx r

dy x dy 7

dy r

lT dP d P d P v

et comme, en multipliant les équations ( 1 1 3 ) par — »

CtJC f

dP dP . , , ,

, . . . , , et ajoutant les résultats, on a

Ci JC 2

dp dx i

dP „ dP dP dP

a. j — — “f - • • • *4“ Xn . — E| — — *4~ Ea — — -4- • • •

dx-i

dx „

dr,

dy s

dP

«ÎT/.’

il vient, en substituant,

' dU d U dyx dy 2 d.X.P d.X 2 P

UA

dr,

dx»

dL, dy, d.X.P

dx n

Au moyen de réquation (i 14 ), on obtient une transformation générale de l’équation aux différences partielles du second ordre à n + i variables,