r*r -4- • . • H — rr

laquelle transformation dans le cas de « = 3 correspond à celle qu’a trouvée Jacobi au moyen du calcul des variations (*) et comprend par suite comme cas particuliers cellequel on doit à Laplaee,à M. Lamé et à M. Cauchy (**). Si l’on suppose E, v = o, on a

Q V (h|,i Kj,}' • • HL r ^ r

E 2>2 . . . K/.| t r—\ Ër+I,r+I** • E„.„ rfF

dy r

Soient

x t = y, cosjr,,

x 7 = y, sin/ 2 cos j 3 , .r 3 = y, sioj 2 sin j 3 cos y if . . ,

x n t = y, sin sin y 3 ... sin y n , cos y„, x„ = y, sin y 2 sin y .. . . sin y,, ;

on trouve aisément et

lj r,S

E u=i, E 2( j = y], E 1i3 = y] sin\y 2 , E $> , =r y J sin*>- 2 sinM E n , n = y] sin*.}-, sin ! y, . . . sin* j fl , ,

(*) Mathematische Werke. Band. II.

(**) Journal de l’École Polytechnique, XXIII e Cahier. — Exercices d’Analfse et de Physique mathématique, tome II.

et, par suite,

L, Q — y" ' sin'— 2 y, sin"- 3 y 3 . . . sin

dF

L 2 Q = J sm"~ 2 y j sm n ~ 3 y :) . . . sin/ (l , — >

L 3 Q = r . sin n "‘ y 7 Si n n “ 3 y 3 . . . sm j„, — ,

dy 3

L f Q =/; 3 sin"~ 4 jj sin"“ s j 3 ... sin"—' sin"~ n sinjr n , —

rf/r

Pour le cas de n = 3 , on obtient

<7 2 F ^/ 2 F rf 2 F . d ' y ‘

Sf + - s,n j2

dy

sin y 2

dF

dy, I g? 2 F

dy, sin y, dy

ce qui est précisément la transformation connue de Laplace.

De la seconde des équations (109), on déduit par la différentiation

ttym

dy m

1 ^ ^'*(> 7 r ) 1 , dE m t dFj r>m

+x “ w ~ûïz~-i \ny: + -^:~

dy, r

et celle-ci où I on fait

L ( d Er ^ -1- (i Em ’ s

2 \ dy m dy r dy, / ’

fournit

I ±i il zà - M , y (x,) -+- M,y, (x, ) + ...+ M„y, (x,),

<ly m

a , = Mi y, («**) 4- M, y, (x,) -H ... -4- M„ y' n {x 7 ),

( I 1 6 ) < «Jm

d ' X \AXr)

dy m

Considérons maintenant le déterminant

. . • X î(rt

cl X

dans lequel X,, r == X r ,,= et observons quon peut l’obtenir en faisant le produit des deux déterminants

fl\,\

fl\ ,1

Yj

fl j,î

Ct 2,2 • • •

flj,l

An,

Sl 2 . . .

dX t

dans le premier desquels on a posé a rft = En multi pliant le premier de ces déterminants par le déterminant

o y tr>) y (r«) ••• y (/«) o y (r.) y (rO y (r*)

0 y Or*) y (/«) • • • y ( r»)

et posant

(l 17) di,r X \ (y s) -f- d 7l r x, (y s ) 4 - . . • 4 - «n, r (ji) = ^r,j ,

on obtient

/jj, 1 ^*,2 • • • ^3,n ^

^n,i ^n,î • • • ^n,n Yj

et comme, d’après les opérations exécutées, 011 a évidemment S = VQ*, il en resuite

Remarquons qu’en différentiant l’équation

par rapport à y r , 011 a, d’après les équations (111), (116) et (117),

; I r / d^s.m dlL r ,m d E^A

Y,, r = Y r ,,-h r . l + -l m l„\^p- +-jf-

d’où

Ar,Yri a "M d ïr dj, d ïm )'

et par conséquent le déterminant Y se trouve uniquement exprimé par les fonctions Y t , Y* E, v et leurs dérivées. Si dans l’expression

Eflj

f dE Sim \ dy r

dZs,r\

dy m )

), il vient

rfE,.A d