DU § VIII, PAGE

Théorème. — L équation

Cjjj-A' ...

a, pour le cas de n impair, une de scs racines égale à 1 , et les n — 1 autres imaginaires et réciproques deux à deux; et pour n pair toutes les racines sont imaginaires et deux à deux réciproques.

En effet, en substituant dans le premier membre de cette équation les valeurs (83) de c, ?1 , c 1?2 ,..., il vient

0 * 1 , n a î,n * nM t

OU

et si l’on multiplie cette dernière par P et qu’on pose

— 5 d OU X — *

il en résulte

a . . ci | >M

^2,i 2.', . . . Cli t n

Développant celte équation au moyen des formules de la page 74, on aura pour n impair -

z n -f- a"- 1 2 , (C— »> P,-,,-)ü -h a"” 4 li ((*-*) P <v ) 0 + a 3 2,-(( 3 ) P,- )t )o H- a-2i((')'P w ) # = o,

pour n pair

2«( (,) P|,/)« -h Po = O.

Dans le premier cas, Tune des racines de l’équation (o ) sera nulle, et les autres, égales deux à deux et de signes contraires, seront données par l’équation

(i>) y+r-' ï/(<"- I, Pf, i ).+- • •-+■/ 2(«p,„).+X(< ,) p f ,;).=o,

OÙ

y = a 2 et rn

Or les coelTicienls de celte équation étant essentiellement positifs, comme déterminants gauches symétriques d’ordre impair, scs racines seront toutes négatives: ce qui démontre la première partie du théorème. La seconde se démontre (le la meme manière.

io

En représentant par — y r une quelconque des racines de l’équation (Z>) et écrivant i pour \j — i , on a

i-f- i \/yr

OU

en faisant

Soit

d’où

I — / S/X,. . ' 1 "h t \!Xr

~ T — (i - h ib 9 x r — a — ib,

« 4- Xr

a zh ib =z p (cos 0 r dz i sin 0 r ),

r p> —'a 7 ■+■ b 7 = i, tan g 0 r = - = .