A ÊTRE INTRODUITE DANS L’APPLICATION PREMIÈRE

DU § III, PAGE ï3.

Considérons le déterminant

da r da r - x

fty

nti o.

fti

a y Wj

(Jr-

« nir - 1

1 Or

, on aura

dDr

dDr

da r

da r

dm r

Or

da r da r -. x

dDr

Dr — 2 )

dDr

da T

- — ftp — I D r 2 )

Dr— I ,

dD r

dD r

rf/flr-, ’ dn r |

donc, en substituant, il viendra

Dr = ü r D f i — W r -1 ftlr-i D f — 2«

da r

— W r , Dr j j

On voit par cette relation que le déterminant D r pourra représenter le terme général d’une série récurrente déterminée } et comme, pour

//j — rtj — . . • — n r — | — I j //I | — f/l j — • • • fît r — i — I j

cette môme relation devient

D r , dans ce cas particulier, sera propre à représenter le dénominateur de la r ième réduite de la fraction continue

De la formule ( 1 4 ) on déduit encore

d‘ Dr

da i da r

dD r dD r da t da r

d a d fi

(en appelant a l’élément zéro situé dans la première ligne et dans la dernière colonne, et |3 l’élément zéro situé dans la dernière ligne et la première colonne) } et si l’on fait

d D r da x

il en résulte en général

D r Nr i Nr Dr i /W i l/l 2 • • • îftr — l « 1 «2 • • • «r — 1 •

ce qui , pour 1 hypothèse ci-dessus, devient

DrNr, — N r D r ,= (- 1 )%

et fait voir que N r est propre «à représenter le numérateur de la r ième réduite.

Par la formule (i3) relative à la décomposition des dé-

terminants, on a ensuite

D r — : Dr — S

da t da-i, . . da r ^ s

fl r s TH r — s Dr — s — I

d r - 3 +' Dr da j da , • « • da ^

résultat que M. Stern a fait connaître pour le cas des fractions continues ( Journal de Crelle, tomes VIII et X). On doit à M. Sylvester la représentation sous forme de déterminants des termes d’une réduite d’une fraction continue.

Ou remarquera que les termes d’une pareille réduite sont des déterminants gauches.

NOTE DE L’AUTEUR RELATIVE A L’APPLICATION I re