DU § V, PAGE

Considérons une ligne quelconque tracée sur une surface et soient a x , b t , c x , a 2 , Z> 2 , c 2 , « 3 , & 3 , c 3 , a , & , c les cosinus des angles que font avec trois axes orthogonaux la tangente, le rayon de courbure, l’axe du plan oscillateur et la normale à la surface en un meme point de la courbe. Soit de plus w l’angle de la seconde et de la dernière de ces droites, on aura

1 aa x -f- bb\ -f- cc, — o , oa-i -f- b b j, -f- co 2 — cos w , nn x -f- bb x -f- cc 3 = sin w.

En différentiant ces équations par rapport «à une variable indépendante quelconque t et posant

(dy et d^i étant les angles de contingence et de torsion) , il

io .

vient

f a' fl, 4- b' b K 4- c'

cos W ,

— w 7 ) sin w ,

! a' 4— b by c

rrr

- w 7 ) cosw;

d’où

— fl, cp 7 COS W 4- (fl ,

sin

fl 3

cosw) ( l|/ —

— b t <p 7 cos w 4- ( Ih

sin

cosw) (4» 7 —

— c, cp 7 cosw 4- (c-.

sin

cosw) (\{/ —

Appelons f le complexe ( complexus ) des déviations successives des normales à la surface le long de la ligne cou-

sidérée, en sorte que f = /y/ (£)’+ (g) ’+ (*

on aura

Ç 7î = a 7î -h b' 1 -+- c ' 5 = <p ' 5 cos 5 w (y — w 7 ) 5 .

Concevons la surface développable qui touche la surface le long de la ligne dont il s’agit. La génératrice rectiligne de cette surface étant perpendiculaire à deux normales consécutives, les cosinus des angles qu’elle fait avec les axes auront pour expressions

^(bc'— b' c), '-(ça' — c' a), — (ab 1 a' b),

et conséquemment en désignant par e l’angle compris entre la tangente et la génératrice, ou, si l’on veut, entre la tangente et sa tangente conjuguée, on aura

a, b { c, abc a' b 7 c'

Or, en ayant égard aux équations (i) et (2),

fil

— f' COS W

— Ç /2 — <p /2 cos 2 w ;

— f' COS&)

donc