d/d dx

Jmi eflet, en désignant par ' — — ■■■ ■ - - G le

d n ~ ni z

coefficient de - - dans la somme des produits ci-dessus,

011 aura

c = « ( o~ n )„ + ( „ ,) ïï iüçi + . . .

dh m v 7 1 r//i dh m ~'

, , w r/*“ 1 (0-Mo e /(û"- M ) 0 , , r/"* ( 0~ " )„ /ri

v ' 1 dh 1 »-' dh } dh m 1

ou bien

dh ' 1

i dh dh m ~' d r>, (Q- n ) c

dh ■

( 0 n “ m ) fl

7/(0“- ft ) o ( ©"-"'b (to — i ) d 2 (©-")„ (©•*-"),

r//r fM w “' } î (inr~ dh*-*

v / / ùn- n 1 0

dh'

r dm ~' ,

[ dh m ~ 1 1

( lfi !) )

ou enfin

L dh m J [w dh m J ’

ce qui rend manifeste l’exactitude de l’équation ( 2 ). Si Ton observe qu'on a, en général,

rhF(.r) d m F(x-h/i) 0 dx"‘ ’ dh m

et qu ’011 pose

2 = F(ar),

l'équation ( 2 ) pourra s’écrire, plus brièvement ,

dy n

On déduit de cette dernière équation une démonstration très-simple et très-directe de la série de Burmann.

Soit, en effet, x une fonction de y donnée par l’équation y = <p(x). En remplaçant, dans la fonction F ( x ), a: par sa valeur en y censée déduite de cette équation, et supposant que F ( x ) devienne alors une fonction continue de y, le théorème de Taylor donnera un développement de la forme

Differentiant n fois cette série et ayant soin de faire y — o après les différentiations, on aura, sous cette dernière condition ,