SIR

LES HYPERDÉTERMINANTS ET LES INVARIANTS;-

1»ar le TRADUCTEUR

Considérons un système de n fonctions algébriques, entières, etc.,

(/) /., # fn

des variables .r, y, . . . , zen nombre quelconque ; et soit <jp une nouvelle fonction des mêmes variables, dont les coefficients dépendent, suivant de certaines lois, de ceux des proposées. Remplaçons, dans les fonctions (/),

I x par a.x -f- a 'y oé') z ,

y par par + $ y -\ + z,

z par 7 x -f- y' y -f- . . . 4 - y^ z,

ce qui les transforme dans

Formons une fonction 4>, composée à l’égard des fonctions

(J') absolument (le la même manière que <p est composée à l’égard des fonctions (f) y en sorte que est ce que devient © quand , dans cette dernière fonction , on met en lieu et place des coefficients des fonctions (/’) les coefficients correspondants des fonctions (f r )* Ces points entendus, s’il arrive que la fonction © soit d’une forme telle, qu’en la soumettant à la substitution (a) elle reproduise précisément la fonction [à un facteur numérique près (*)], cette fonction <p constitue dans ce cas ce que M. Cayley, à qui la conception en est due, a nommé une fonction hyperdétermincinte ou un hyperdé terminant relatif au système (/). En** résumé, les hyperdéterminants sont des fonctions tellement composées à l’égard d’un système donné, que les fonctions homologues, relatives au système linéairement transformé, sont les transformées des premières suivant la même substitution.

Par exemple, supposons que le système (f) se réduise à la seule fonction

f — ax 3 -f- 3 bx 7 y 3 cxy 7 -f dy 3 9

et prenons

<p = (6 2 — ac) x 2 4- ( bc — ad) xy -f- (c* — bd) y 2 .

La substitution x = x -f- a! y, y =y transforme f dans f = a! x 3 -t- 3 b' x 2 y -f- 3 d xy 7 -f- d' y 3 , où

a' — a , b' = b -4- a et! , d == c -f- 2 b a.' -+- au 7 , d' = d -f- 3 ca' -f- 3 b oc! 7 H- a a.' 3 .

La fonction déduite de f' de la même manière que <p

(*) Il faut entendre par ce facteur numérique un facteur uniquement dépendant des éléments «, a',..., de la substitution. Je n’en parlerai pas

dans ce qui suit.

de f, c’est-à-dire

^ = ( b ' 2 — a' c') x 2 -J- [b' c' — a' d') xy (c' 2 — b' d')y 2 ,

devient, d’après les valeurs précédentes de a!, h\ c', cî\

<1 > = ( è 1 — ac ) x 1 -f- bc — ad xy -+- c 2 — bd y 2

rt - 7.{b 2 — ac.) a! -f - [bc — ad) oc'

► -f- [b 2 — ac) a. 1 2

Or, si l’on soumet à la substitution x — x -h ce' y, y -y-, on trouve précisément cette dernière fonction et comme les memes circonstances se reproduiraient pour la substitution tout à fait generale x = ax -h ce.' y, y — (3 a: -h (3 'y, il en résulte que <p est un hyperdéterminant de f.

On sùppose ordinairement que le déterminant

qu’on nomme le module de la substitution (a), est égal à l’unité, et dans ce cas la substitution est dite unimodulaire . Si ce module était quelconque, la substitution (a), introduite dans l’hyperdéterminant <p, reproduirait <ï> multipliée par une certaine puissance du module, les fonctions ( f ) étant toutefois supposées homogènes.

Considérons, avec M. Sylvester, la substitution (a) et la substitution

z - - ex -h- c ' y -h . . .H- c(‘) z

Ces deux substitutions étant supposées uni modulai res , supposons d’autre part que chaque élément de la seconde

soit égal à ce que devient le déterminant M de la première

(juandon remplace, dans ce déterminant, l’élément correspondanl à celui que l’on considéré par l’unité, et par des zéros tous les éléments situés dans la môme ligne et dans la môme colonne que celui qu’on vient de réduire à l’unité : en sorte que, par exemple,

Tous les éléments du système (aj étant ainsi liés aux éléments du système (a), on vérifie aisément que les relations inverses ont également lieu, de façon que, par exemple ,

c o c" . . . cW

Deux substitutions, soumises à cette réciprocité, ont été nommées par M. Svlvester substitutions complémentaires ou réciproques.

Cette notion établie, et pour revenir aux métamorphoses des fonctions, reportons-nous aux fonctions ( f ) et, admettant toujours que la substitution unimodulaire (a) les a changées dans (f ) , composons encore , d’après une même loi, les deux fonctions ÿ et <£, l’une sur le système ( f ), l’autre sur le système (/')• Nous pourrons maintenant nous demander que la fonction se transforme dans d>, non plus par la substitution primitive (a), mais par la substitution réciproque (a). Et ce double mode de réduction donnera naissance à deux espèces généralement distinctes de fonctions : les unes, déjà considérées, seront les hyperdéterminantsou, d’après M. Svlvester, les covariants ; les autres,

par opposition , reçoivent du même auteur le nom de cou trcivuriunts .

Comme on est généralement le maître d’imposer une substitution linéaire à une partie seulement des variables qui entrent dans une fonction et d’appliquer une substitution différente à une autre partie de ces variables, et ainsi de suite, le système ( f ), soumis simultanément à ces substitutions linéaires fractionnées, se transformera toujours dans un autre mais pour passer de la fonction <p à la

fonction <£, formée sur ( J y ) comme <p l’est sur (/ ), on pourra, à chacune des substitutions partielles, adjoindre une substitution semblable ou une substitution complémentaire. Donc <p sera relativement au système [f) covariant pour une partie des variables et contravariânl pour une autre partie (*).

Lorsque la fonction <jp ne dépend uniquement que des coefficients des fonctions (f), la distinction entre les covariants et les contravariants s’évanouit, et ces deux espèces de fonctions vont se fondre dans une espèce-limite qui , ne donnant plus de prise à la substitution, acquiert la remarquable propriété de rester identique à elle-même quand on la compose sur le système (/) ou sur le système transformé (/'). En considération de cette propriété, les fonctions qui la possèdent ont reçu le nom caractéristique dV/i variants .

Ainsi, pour mettre la définition en lumière et sans égard pour la répétition, les invariants sont des fonctions des coefficients d’un système primitif donné qui se réduisent d’elles-mêmes à leur expression primitive lorsqu’on essaye de remplacer ces coefficients par les coefficients homologues relatifs au système uni-dinéai renient transformé.

(*) M. Sylvcster a reconnu depuis que les contravariants ne différaient pas des covariants.

Réduisons, par exemple, le système à la fonction unique et simple

f = ax 2 -h : 2 bxy -f- cy 2 .

Par la substitution unimodulaire

x — ux -)- a! y y — p.v 4- £'j’

elle devient

f'=a'x- 4-2 b' xy -f- c' y 2 .

Et si l’on forme avec les coefficients de / la fonction

b 1 — ac ,

avec ceux de f la fonction analogue b 2 — de , on trouve, en vertu de a', b', c' en a, b , c, or, /3, . . . ,

b r 2 — «' c' = ( & 2 — «6*) ( afe' — a' ft = b‘ — ac.

La fonction b 2 — ac est donc un invariant de f.

On rencontre un invariant dans le dernier terme de l'équation aux différences des racines d’une équation donnée f(x,y) = o. Car par la substitution x = x — hy , toutes les racines se trouvant augmentées d’une même quantité, leurs différences ne sont pas altérées, et il en est, par suite, de même des coefficients de l’équation aux différences, qui sont des fonctions symétriques de ces différences, et s’expriment d’ailleurs par les coefficients de la proposée : mais le dernier coefficient reste seul inaltéré par les substitutions qui affectent y.

Une fonction quelconque d’un certain nombre d’invariants est évidemment elle-même un invariant pour le système considéré. Les invariants qui ne peuvent pas s’exprimer sous forme rationnelle les uns par les autres sont appelés invariants fondamentaux .

Les invariants sont astreints à vérifier certaines équa-

lions aux différences partielles, qui sont une conséquence immédiate de leur définition, et constituent à leur tour les bases de leur entière détermination. Considérons spécialement le cas où le système primitif se réduit à la fonction homogène à deux variables du degré n

f — a 0 x" -f- na x x'*~‘ / H — (h y 7 *+*••• +

a 0 étant ce qu’on nomme les coefficients. La substitution unimodulaire

la transforme dans

/' = a\ x n -h na x x n ~ 1 y -h - - (t\ K'” 1 y ’ H“

ou

(l n (ly) ,

/ = fl,+ afl|» -f- "u ri‘

Jl- I

a' n = -f- rirt n —\ * -f- • • • -f- ï î'

Un invariant quelconque <p relatif à /devant rester indépendant de Yi quand ou y remplace ^ 0 , •> P ai

a 0 a'„, on peut égaler à zéro sa dérivée par rapport à vj après cette substitution, et l’équation ainsi obtenue suffit pour établir l’indépendance dont il s’agit. Or oti a

I =. Tl

r/ yj

'YT' • I a i — I

da

e’est-à-dire

et comme la composition de <j> en a\ , a',,..., d n doit être parfaitement la même qu’en « 0 , ûi, • . . , et que ces dernières quantités sont tout à fait quelconques , rien n’empêche de supprimer les accents, et d’écrire en conséquence

Au reste, si cette suppression d’accents paraissait quelque peu illicite, on lèverait toute espèce de doute à cet égard en observant que la transformation inverse x — x — r t y , y =y devant ramener f à f, on aurait, en changeant rj en — y) dans l’expression ci-dessus de a \ ,

-ha,*'

et, par suite,

Si, au lieu de la substitution x = x -+- y? /, y =y y on eût pris x =z x , y — y -}- r, x, ce qui revient à écrire en ordre inverse la fonction f, à échanger l’un dans l’autre x et y, et à faire la première substitution , on eût trouvé évidem-

ment

da n —i

Une fonction <p satisfaisant aux deux équations (i) et (/) jouira de la propriété de rester invariable par les deux substitutions successives

et conséquemment par la substitution résultante uniinodulaire

j x = (i -1- ln)x" -H | y y" ’

d’où, par répétition, on conclura à l’invariabilité de la fonction (p pour une substitution unimodulaire quelconque. Par où l’on voit que les deux équations différentielles précédentes caractérisent complètement les invariants et sont parfaitement suffisantes pour leur entière détermination. M. Cayley a prouvé, dans un travail, sans doute actuellement publié, qu’une seule équation différentielle, jointe à la condition d’homogénéité, est tout à fait propre à remplacer les deux équations dont il s’agit (*).

En se fondant sur le résultat précédent, il serait facile de former les équations différentielles que doivent vérifier les invariants pour une fonction de plus de deux variables. Il suffirait d’écrire la fonction donnée sous la forme d’une

{*) La méthode que j’ai suivie pour établir les équations différentielles ci-dessus coïncide à son début avec celle qu’a employée M. Sylvester ( The Cambridge and Dublin, etc i85a. Sur le Calcul des Formes, sect. IV), en ce sens que j’emploie la même substitution y — y, jt = -i- r,y. Mais à partir

de là le procédé de la différentiation que je substitue à un certain développement par la formule de Taylor, me parait beaucoup plus simple, sinon plus satisfaisant. , .

somme de polynômes homogènes en x et. y, de degrés décroissants de n à o, multipliés par les puissances et produits des autres variables propres à rétablir l’homogénéité dans chaque groupe; car, comme la substitution simple y = y , x — x -+- r, y permettrait alors d’avoir, par ce qui précède et pour chaque groupe, les coefficients de la fonction transformée, le procédé de différentiation par rapport à y? s’appliquerait avec le même succès et conduirait à deux premières équations différentielles. Puis une autre substitution, telle que z = z-t- r,y, y = y, jointe à un autre groupement des termes du polynôme, fournirait deux autres équations, et ainsi de suite. On passerait ensuite sans peine au cas général d’un système quelconque de fonctions homogènes. Mais je dois me borner ici à ces simples indications, mon but ayant été dès l’abord de donner uniquement les notions, en quelque sorte rudimentaires, qui se trouvent à l’origine d’une vaste et féconde théorie qu’enrichissent et étendent tous les jours les travaux de MM. Cayley, Sylvester, Hermite, etc. On trouvera dans le tome XXX du Journal de Crelle le remarquable Mémoire où M. Cayley pose les fon- .dements de cette # grande théorie, et la lecture du Calcul des Formes de M. Sylvester (*) achèvera de faire comprendre tout ce qu’elle offre de ressources aux esprits investigateurs (**).

(*) The Cambridge and Dublin Mathemalical Journal , i85a.

(**) Depuis que ceci a été remis pour l’impression, M. Cayley a publié dans les Transactions Philosophiques (i85.|- 1856) trois magnifiques Mémoires sur la théorie dont il s’agit. MM. Hermite et Sylvester sont, de leur côté, arrivés à d’importants résultats consignés dans le Quarterljr •Review que je n’ai pas présentement sous les yeux.

NOTE DE L’AUTEUR

SRR