LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
I. Dans le tome XXVII du Journal de Cvelle (p. io5), M. Eisenstein a signalé la relation suivante :
j a\ a \ — ^>a 0 a l a 2 a i -{- ^a 0 a\-Jr \ci\ a^— ’ia] a\Y
| =r A* A’ — ôAoAi Aa A 3 -H 4 A 0 A 3 -|- 4 A 3 A 3 3A, A 2 , où
A 0 = a 0 al — 3 a t a 2 a z 4-2 a\,
Aa = — a 0 a { a 3 -+- 2 a\ a 3 . — a] a 3l A s = a]a 3 — 3rt 0 <?,tf 2 4- 2<ïJ.
Si l’on fait
u= a\ a\ — 6 ûr 0 «i«ïû 3 -H 4 flr « ût î "+* 4 «î a * — $ a \ a \ »
les dernières relations reviennent à
. 1 du 1 du 1 du 1 du
2 fù?o 6 da { o da 3 2
L’expression u est le discriminant bien connu de la fonction homogène du troisième degré
et si l’on désigne par U le discriminant de
du du
7 ;* ï+ hï, xï +
du da 3 ^
. A.-xAt,
l’équation (t) pourra s’écrire
M. Sylvester a appelé Texpression (3) Y évectant du discriminant de la fonction ( 2 ), et généralement, si l’on considère la fonction homogène du n teme degré
(4) a o x* -+- «<*• • r " - ' y -+- — — <*1 ^~ 7 y 7 -h ... -h du y„,
et qu’on représente par un invariant quelconque de cette même fonction , il nomme évectant de cet invariant l’expression suivante :
(l çp
da n
da K
(la j
Cela posé, la relation d’Eisenstein peut être démontrée et généralisée au moyen de ce théorème :
si r on considère l’évectant d’un invariant quelconque d’une fonction homogène du n leme degré, tout invariant de cet évectant sera une fonction algébrique, entière, rationnelle des invariants de la fonction homogène considérée.
Cette proposition pourrait se déduire de l’importante loi de réciprocité de M. Sylvester (*) $ mais il ne sera peutêtre pas inutile de l’établir directement comme il suit :
Un invariant quelconque <p de la fonction (4) doit, comme on sait, satisfaire aux deux équations
(5) ra r i a r — Q, ^ [n — r i) a r a f - , — o ,
OÙ
et pareillement un invariant ^ de l’évectant
(*) The Cambridge and Dublin Malhcmatical Journal , november i85*2. — On the principles of the calculas of Forms, scct. IV.
de l’invariant <p, c’est-à-dire nn invariant ip de
a„ .r" -+- a, x n ~ 1 y H- a , *"-» ; 3 + -..+ aj' sera déterminé par les deux équations
dÿ
L’invariant ^ sera évidemment une fonction algébrique, entière et rationnelle des coefficients « 0 , a X) et l’on
aura
d ap \J/ d cc s
do,
r r *mà d<x t da r
. , du, d 1 <p ^/a r . ,
Par suite, en observant que — — = - 7 — 7- = -7— j il viendra
# da r do j do i* do s
da r d a. s
rflr-l
da s
Mais la première équation (5), différentiée par rapport à et j , donne
2 rûr '--i — — ( s 1 ) a 5+« ;
donc, en observant que a„ + i n’existe pas ,
c’est-à-dire, d’après la deuxième équation ( 6 ),
, ro r - , — == o ;
et l’on trouverait de la même manière
rftfr-l
Ces deux équations démontrent que ^ est un invariant de la fonction (4), ou, en général, une fonction algébrique, entière, rationnelle des invariants de cette même fonction.
Si l’invariant <j? est du m ie,ne degré, et que l’on suppose <{/ du degré r par rapport aux coefficients de l’évectant, ip sera du degré r(m — i) par rapport aux coefficients de la fonction.
Dans le cas où la fonction est du troisième degré, son unique invariant bst le discriminant u\ conséquemment le discriminant U de l’évectant de u (lequel discriminant, d’après ce qui vient d’être dit, sera du degré 4*3) devra être égal à une fonction algébrique, entière, rationnelle du degré de w, c’est-à-dire on devra avoir
h étant un coefficient numérique qui, comme on Fa vu, est égal à 16 .
Pour la fonction homogène du quatrième degré a 0 .r , + 4 fl l x 3 /-f -6 a 2 x 7 y 7 - f- 4 « 3 xy* H- y\ on a l’invariant quadratique
l’invariant cubique
Y 3 = a 0 a 2 a 4 -+■ 2. a, n. — a 0 n\ — n,n\ — a \ , et le discriminant
(7) D = YJ — 2 7 YJ.
Représentons par E t , E 3 , E 6 les évectants correspondants à ecs trois invariants, et par Y 2 (E 2 ), Y 2 (E 3 ),Y 3 (E 2 ),... les invariants quadratiques, cubiques, etc., des évectants F F
En prenant, par exemple, la forme Y 3 (E 6 ), évidemment du quinzième degré, on aura, d’après le théorème précédent,
Y 3 (E 6 ) = /Y;Y3 + mYlYl+nYU
et pour Y 2 (E 3 ), du quatrième degré, on aura aussi
Y 7 (E 3 ) = pY\,
/, m, n y p étant des coefficients numériques. Ces coefficients, pour la fonction homogène du quatrième degré, se déterminent facilement, et l’on obtient les relations
Y a (Ê,) = Y„ Y 2 (E 3 ) = ^Y;, y* (E 6 ) = 9 y; (y; - 27 Yî) = 9 y,’ d.
On trouve semblablement
y 3 (Ej)=y 3 , y 3 (e 3 ) = ^( 54 y;-y;), y,(e.)=- 54 y,d% et enfin
D(E,) = D, D (Ej) =s Y| (E 3 ) — 27 Y’ (E 3 ) = Yj D,
La dernière de ces relations est pour les fonctions du quatrième degré P analogue de la relation (i) pour les formes du troisième degré.
Des équations
d <p da 9
d q> do n
on peut déduire a ly
a n en fonction de a 0 , a t ,..., a„
et réciproquement 5 et si l’on considère 9 comme dépendant de a 05 «u» • <*,» en tant que ces dernières quantités dé-
pendent elles-mêmes dcû 0 ,fl 1 ,...,on aura
dy da 9 d <p d oc, <p r/ a„ <7<p
r/« r da.i da r dx n da r da r
On peut déduire de là les valeurs de ^—5 ^
aura par exemple
• 5 et l’on
ou
d y da. .
dat. {
da y
da y
d oc,
da n
OCn ~ 1 ' ' • • •
da n
da n
d a 0 d oc,
da 0 da t
d a„ da„
En se rappelant que se mettre sous la forme
l’équation précédente peut
da. 0
da. 9
da {
da n
doL y
da y
da n
dct n
da {
da n
et, comme en vertu de l’homogénéité de 9 ,
da r
o* —, h Ai
dn R
d a r da y
si l’on ajoute aux éléments de la première colonne ceux des autres colonnes respectivement multipliées par — a { , — a , on obtient
et généralement
Il résulte de là que si Ton considère l’évectant de l’invariant du degré r d’une fonction homogène quelconque (4) 5 l’invariant du r ièmr degré de cet évectant pourra s’exprimer par le moyen de l’invariant considéré de la fonction, c’est-càdire que l’on aura, en se conformant a la notation adoptée,
En faisant , pour abréger,
on aura
et, par suite,
dY r aj do s ’
du,
, da.
Ces relations se vérifient précisément pour l’évectant du discriminant de la fonction homogène du troisième degré, et l’on a
ûCq d ce?
n , dU * d U ibcea,, - — = io ida n
da -,
da.
formules que M. Eisenstein avait données sans démonstration.
