Je passe à quelques formules qui ont trait à la résolu

lion des équations. Considérons l’équation

et supposons que les coefficients soient des fonctions d’une variable y. Soient x x , x 9 , . . . , x n les racines de cette équation. En substituant l’une d’elles, x, dans celte même équation et différen liant par rapport à y dont x est alors fonction, il vient

J' (x) étant la dérivée de f (x) en n’y faisant varier que x et /' (jy) la dérivée de la même fonction quand on a égard à la seule variabilité des coefficients. Or en désignant par A le déterminant

on a ( voir pages 88 et 91 )

F' ( x ) irfz" -1 '

.fp . . . s , , — |

•Ç| .fj . • , .s„

par conséquent, en substituant, il viendra

^V^ + /'(/)VQ = o-

Si Ton suppose que les coefficients de f (x) = o sonldes fonctions linéaires entières de la variable y, on déduit facilement de cette formule l’important théorème relatif à la résolution analytique des équations algébriques que le professeur distingué M. «Betti a publié dans les Annales de M. Tortolini (année 1 854 ) • Effectivement, quand on suppose

il en résulte *

Tr v'd + '1Wv / Q = o,

et le polynôme Q se réduit à une fonction algébrique rationnelle de la seule variable x en remplaçant dans ce po-

lynôme y par sa valeur — ^ La formule (*) se présente

ici sous une forme plus commode dans les applications que celle que lui a donnée M. Betti. Nous prendrons l’exemple meme que choisit cet auteur, savoir

On a dans ce cas

\ 4- 3 oox J — 4 ox/4-8/ 7

ou, en mettant pour y sa valeur x 6 4- 5 a: 3 ,

et, par conséquent,

(*) La formule dont il s’aeit faisant connaître — et par suite — - — , il sera ‘ d/

possible, par la formule de Macluurin ou de Taylor, de développer x suivant les puissances dc.r. ( Note du Traducteur.)

11 est évident que toutes les fois que <p (x) sera égal à une constante, <p se réduira à une fonction entière de la variable x et du degré

et D sera du degré n — i .

Je considère à présent les deux équations

dx r da x dx r da 2 dx r da n

da x de, da 3 dx r da n dx r

d.r r da , dx r da 2 dx r da n

da x dx i dx 2 dx s ’ da n dx s

on en déduit, en multipliant la dernière par x\ et sommant par 2, ,

S — Il S — H

dx r da t , dx r ^ da 7 ,•

da { dm* dx , 4 dn 2 2 Lâ dx } 4

dx r da,, , «

da„ 6-à dx i 4 s— I

Maii

. X' (•S-t-r — | — 1~ Il i >'«'- 4 -r — i • • • -4- Il r — i $i) — ^i,r ( )j

(IX s

donc

dx dx d.r

<la { da, da n

équation aux dérivées partielles à laquelle doit satisfaire une racine quelconque de J (x) = o (***). 11 importe d’ob-

(’* ) Elles résultent immédiatement de

ri d f

da . dx

quand on y fait

successivement y — j f) = x s . ( Note du Traducteur.)

(*” ) Voir la remarque qui termine le précédent Mémoire de M. Brioschi.

( A’olc du Traducteur .)

(***) Crelle, tome XLVIII. Article du professeur Raabc.

( ai3 )

server que l'équation (a) ne peut fournir que n équations indépendantes entre elles et qui proviénnent de i = o , i , 2,. . . , n — 15 car celle qu’on trouverait en posant 1 = n résulte de ces dernières multipliées respectivement par a nf a n- n« • . , «1 et ajoutées. La meme chose a lieu pour l’équation suivante, qui n’est autre que l’équation (a) mise sous une autre forme:

dx *

ds {

ds n

Quand on suppose i= o, l’équation («) devient

« -7- -H (« — 1) da {

da-i

da n

et l’on vérifie quelle est satisfaite en prenant

Cl T — |

et où çp désigne une fonction arbitraire. On remarquera que les a r sont précisément les coefficients de l’équation que l’on obtient quand on fait évanouir le second terme de f(x) = o:

Les quantités a r étant homogènes en indice (*) par

(*) Voir la remarque qui termine le Mémoire.

rapport à a,., </ f+1 , ou aura

da. r

(ldi

Au moyen de cette équation et de ses analogues, on transforme aisément celle qui se déduit de (a) pour i = i , savoir :

(i CK r

d a r 1 da.

da.

dx 1 ( la 2

dx .

(IG n

et l’on trouve

d’où

do do do

a a, «aj aa„,

i{/ étant le symbole d’une fonction arbitraire, et

Les quantités ^3 t , \Z/3 2 , . . . sont les coefficients de l’équation que Ton obtient quand on fait disparaître le second terme de f(x) = o, et qu’on réduit à l’unité le coefficient du troisième 5 effectivement, par la substitution

cette équation devient

y* -+- y n ~ 7 4- I n ~ 3 v ; 3, -h . • • 4- r v/?«- 3 -h Vp«-î = O.

Si dans l’équation (<?), quand on y aura fait i== 2 , on substitue pour jr sa valeur (/>), on obtient, après quelques

réductions ,

-(r 4-i) fl. a r n

rt,

avec les conditions « 0 = o, ct n = o*, et en substituant pour <p sa valeur (c), on obtient

avec les conditions ( 5 0 == i, jS,,.., = o.

En faisant

il vient

équation qu’il faudrait intégrer pour connaître la forme de la fonction

(Pavie, octobre i854-)

Remarque du Traducteur . — Si l’on considère un terme

Aai'a}'... a J n n d’une fonction algébrique, entière et rationnelle, et qu’on multiplie l’indice de chaque lettre par l’exposant de cette même lettre, la somme faite de tous ces produits, c’est-à-dire iX, 4- 2X5, 4- 3A 3 4- . . . -f- nA„ , est ce que M. Transon nomme Y indice du terme dont il s’agit. L’indice ainsi défini restant constamment le même

pour les différents termes de la fonction, on dit dans ce cas que la fonction est homogène en indice . Une pareille fonction vérifie, pour 0, l’équation différentielle partielle

dû dQ

dd t cl Cl 2

dO n da.

où p désigne l’indice. Et si l’on cherche les fonctions algébriques qui vérifient réciproquement cette équation, on trouve qu’elles sont nécessairement homogènes en indice. Il suffit pour s'en convaincre de remplacer n,, a 3 . . , a n par

n' 2 , a' 3 ,..., a'", ce qui réduit l’équation précédente à la

forme canonique qui caractérise les fonctions homogènes.