Z2 OL

an,n «« a«

et, par conséquent, en ajoutant aux éléments de la prc-

(50) mière colonne ceux de la dernière multipliés par «i , aux éléments de la seconde colonne ceux de la dernière multipliés par as, et ainsi dp suite, d'après le principe ci-dessus rappelé, on aura

A|,i A|^3 • • • Ai^n Z| ai As,! Aj^j . , . A2,n ^2 aj

Aii,i An,2 • • • A|,^n ^n *n «, 32 . . . 2„ O O

a, aj... a„ ci

c'est-à-dire

De même le déterminant P peut s'écrire

Ot.i a.

et, en exécutant l'opération indiquée plus haut, on aura

Ces valeurs de L et de H, substituées dans l'équation (56), donnent

M»=PV, — VP,.

Nous avons appelé la fonction V réciproque de U5 il est clair que Vj sera réciproque de la forme quadratique

U -H («1 a:, -f. aj X2 -h . . ..-Ha„x„)».

Si l'on suppose /^ = 3 , les équations

( 5. ) % dtiia;'ocmique8 ayant un double contact, et les

' aux polaires réciproques correspondantes, •^rès (57) , Vj = o peut se mettre sous la

^V-hM'=o,

nx polaires réciproques ont un jrde de contact est la droite re-

.iogue a lieu pour les surfaces du second

jL. — Propriétés des déterminants mineurs, nomme déterminant mineur d'un déterminant corn-

le déterminant que Ton obtient en supprimant dans le déterminant complet un nombre quelconque de lignes et de colonnes. L'ordre du déterminant mineur est déterminé par le nombre de colonnes et de lignes que Ton supprime; c'est ainsi que

(*) Cmllv, Journal, etc. 9 Band 3i.

(52) est un déterminant mineur de Tordre m. Si les éléments principaux du déterminant mineur ont chacun le premier et le second indice identiques , comme cela a lieu pour le déterminant (58), le déterminant mineur se nomme principal. Pour représenter par un symbole cette espèce de déterminants, considérons les déterminants mineurs d'ordre ^ième j^ déterminant P. Soit

le nombre des combinaisons m k m des indices i, 2,,,., n. Ecrivons ces combinaisons les unes à la suite des autres d'après une loi déterminée, par exemple en commençant par celle dans laquelle le produit des indices est le plus petit, et plaçant successivement celles où le produit des mêmes indices va en augmentant. A ces combinaisons ainsi distribuées faisons correspondre les nombres

Soient /', s deux quelconques de ces derniers nombres 5 si dans le déterminant P on supprime tous les éléments qui ont leur premier indice compris dans la combinaison r, et leur second indice compris dans la combinaison s, les éléments restants formeront un déterminant mineur de l'ordre m. Nous représenterons ce déterminant mineur par le symbole ^""^r,* et conséquemment par ^"*^Pr,r le déterminant principal du m*^"** ordre. Il est évident que le nombre des déterminants mineurs du /n*'"** ordre est en général égal au carré du nombre u. On pourra donc, avec ces déterminants , former le déterminant

C»)?,^, WP,,3 . . . (-)P,,„

Ces déterminants de déterminants mineurs, considérés pour la première fois par M. Cauchy (*), ont reçu du même auteur le nom de déterminants dérii^és du déterminant P.

On nomme détermînani! complémentaire du déterminant mineur ^""^Pr,, le déterminant mineur de l'ordre [n — m) que l'on déduit du déterminant P en effaçant dans ce dernier tous les éléments à l'exception de ceux qui ont leur premier indice compris dans la combinaison r et leur second indice compris dans la combinaison s. Ce déterminant complémentaire peut se représenter par le symbole (n-m)p^^^^^^ et le déterminant complémentaire du déterminant (58) serait

Oç^i.t

an,n

OÙ /ï — m = ^'. Le déterminant dérivé des déterminants qui sont complémentaires de ceux coii;istituant le déterminant ^'"^Su peut être représenté par le symbole ^""""*^Su ; et les déterminants ^'"^Stt, ^"~'"^S„ se nomment déterminants dérivés complémen taires .

En se rappelant la règle pour la formation des déterminants exposée au § III ( page 1 1 ) , on s'assurera facilement de l'exactitude des deux équations

I OP,,, ('-'»)P,,,H-('»)P,,, («-^«)P,,,-h... V H- ('"^Pu,, ("-'")P^u,-r = o.

Si dans ces équations on attribue à r et5 les valeurs i.

(*) Journal de l'École Polyicchnitfue, XVlï« Cahier.

2, 3,.* -9 ^^9 on obtient i/* équations, au" moyen desquelles, et par Tapplication de la règle dé multiplication des déterminants , on arrive aisément à

La formule (43) se déduit de celle-ci en faisant m = i.

Remarquons que, d'après les conventions qui ont été faites relativement aux symboles des déterminants mineurs, l'équation (36) prend la forme

et de même (38) peut s'écrire

oùi=: — ^ 1'^ et généralement la différentiation exécutée m fois de suite sur Féquation

PQ = R conduit évidemment à

Si dans cette équation on suppose 5 = i, 2, 3,...,u, on obtient u équations qui , respectivement multipliées par

et ajoutées en ayant égard à celles-ci :

( 55.) doim^nt la suivante :

L'équation (33) se déduit de cette dernière en faisant m = I. Si Ton suppose que r est égal à 5 et que les éléments correspondants des déterminants P et Q sont identiques, on aura

(62) ■ (("•)P,..)*H- (<*->Pr.,r + • . .-+- ((">Pr,.)' = ^"^Rr>-

En désignant par ^'^^T,*, ^""^V, les déterminants dérivés des déterminants Q, R, on aura, d'après Féquation (61) ,

(•")S„ («)T, = (")V„, et aussi

rAu moyen des équations (Sg), (60), on pourra obtenir une équation qui comprendra,. comme cas particulier, l'équation (39). En suivant le procédé de calcul employé pour arriver à cette dernière équation , on trouvera facilement

(63) PQ = H,,t K,.. -h H,,, K,,, -H ... -h H,,« K,,«, où

H,,, = («)Q.,, («-")P.,-., -h ('")Qr,, <"— ^P-.,w -h . . .

La formule de décomposition (63) est due à M. Sylves-

ttir(*).

Applications.

i^. Soit représentée par

(^) Phihsophica l Magasine , i S5 1 .

(56) uDe fbiïetioii quadratique à n variables. En transformant cette fonction dans la suivante :

au moyen de la substitution linéaire

on a, comme on sait,

(64) Ar,, = As,r = <?j,i ^i,r -f" ^i,j /'2,r "h • • • 4" ^i^n ^ii,r,

'*i,r5 Aî,rvî étant données par les équations (27).

Supposons que la fonction U se soit transformée dans V par une substitution orthogonale, c'est-à-dire par ime substitution dont les coefficients c^,, vérifient les équations

^i',l Cg^x -\- Cr^2 ^i,2 "h* •

• -h Cr,n Cs,n == O ,

ce qui entraîne

^! + xj -f . . . H- ar^ == zj + zj ^ . . . -H z^

On sait que dans ce cas la fonction Y peut se réduire à la forme

et que les coefficients A^ sont les racines de l'équation du j^ième degré

«It,» — ^

(57) Cette équation rencontrée pour la première fois par Laplace dans ses recherches sur les inégalités séculaires des planètes ('^) , et qui a donné naissance aux premiers travaux du même auteur sur les déterminants, admet n racines réelles, comme l'ont démontré Borchardt et Jacobi (**). En se rappelant la manière dont cette propriété a été établie pour les équations du troisième degré de même forme (•§ V) , il est clair qu'en posant

et, par suite,

nous aurons démontré la réalité de§ racines de l'équation (65) quand nous aurons prouvé que tous les coefficients des diverses puissances de X dans l'équation suivante sont positifs :

Or le coefficient de X*"* résulte évidemment de la somme des déterminants mineurs principaux du m'^"*' ordre du déterminant

En représentant donc par ^'"^Rrjr un quelconque de ces

(*) Histoire de V Académie des Sciences, année 1772.

(**) Journal de Liouville, t. XII.— Jacobi, Hatematische Werke, Band i.

( 58 ) déterminants mineurs principaux, par P le déterminant y (o), et observant qu'entre les déterminants ^'"^Rrjr et les déterminants minieurs du déterminant P règne Péquation (6a), il s'ensuit que le coefficient de H«» est égal à la somme des carrés de tous les déterminants mineurs du i^iéme ordre du déterminant P. Les coefficients de (66) sont donc positifs , et, par suite, réelles les racines de l'équation (65).

2*^. En conservant les notations de l'application i°, désignons par N le déterminant

A-i^i A|,a ... A|,n Ajj Aj^a . . . Aj,n

Aii,i A/i,). • . An,n

Quelle que soit la substitution linéaire qui transforme la fonction U dans la fonction V, il existe entre les déterminants mineurs du déterminant P et les déterminants mineurs du déterminant N une relation importante que nous allons actuellement établir. Observons pour cela que, ayant par (64)