I.2.3.. ./2 tZ/i"-'"! ( ^ J )o

ou , si l'on veut ,

Nous ne nous préoccupons pas ici de la question de savoir sous quelles conditions cette série de Burmann peut exister.

Quand on fait

l'équation (4) devient

et Ton retrouve la série de Lagrange F(x) = F{«) + [H^)r{a)]y + ^[^-W'F'Ca)] ^^ +• . -.

propre à représenter une fonction F (x) -de la racine de l'équation

qui se réduit à a pour jr = o.

Dans l'équation (2), faisons successivement z=y^

fin rni V'\

j'v? y'\ et désignons, pour abréger, J;^ par D'*(p(j:),

( >9> ) nous obtiendrons les identités

o = (9-),D-ç(:r) + 1-J ^" B-'fl.r)

,,^n-, rf(9--).

Ces identités font voir que si l'on a les équations

D«-«.(ï)(aî).7,-*-D«-'.(p(x)».j,H-...-hD»'-.(p(.r)".7„ = D"-^F(x), D".^(j:)7, + D».(p(a:)».j,-f-...-f-D»».ç(.c)".j«=r D".F(j:),

et qu'on les multiplie respectivement par

dli"^'

dh"

on trouvera

Mais les équations (A), résolues à la manière ordinaire, dotinent

2[±.D'.y(j;)D^<p(x)^..D"-'.yfjc)"-'D".F(jr)] •^" "" 2[±:D^(p(ar)D^(p(x/...D*-'.(p(x)«-^D^ç(ar)«]'

les déterminants étant formés par rapport aux indices de différent! a lion. En égalant ces deux valeurs de j^„, on aura

En développant les deux membres de- cette équation suivant les dérivées de F [x) et observant que les coefficients des mêmes dérivées doivent être identiques, à cause de l'indétermination de F (or), on aura, en égalant ceux de

1.2.3.../?' ^' 2[±0^y(ar)D^<p(^)^..D«-^y(;l:)«-'D^7(a^)«]' d'où l'on tirera

i£[lt:D'.y(x)D'.«p(j:)»...D".y(jt:)«] r n(n4-i) -l «(w-hQ

= i!2!...«!L0 ^ Jo=i!2!.../î![Dy(ar)] ^

et, par suite^ l'équation (a) deviendra

5 77— rô--«F'(â: + /i)]

1,2.3, . . n dh!"-' ^ \ ^ n

»(nH-i) '

1Î2Î3. ./zî[D'f(.r)] ^

• ( '93 ) (le symbole ri représentant, suivant l'usage, le produit continuel i . 2 . 3 . . . r).

• Ce beau théorème, ainsi que Féquation (/3), sont dus k i M. Wronski (Philosophie de la Technie, a*' sect. , p. 1 10). M. Prouhet a donné, par d'autres considérations, une belle démonstration de l'équation (|3 ) .

(Extrait des Nomelles Annales de M. Terquem, tomes IX et XI.)