fl^/i' r/o

±.11 ellet, en désignant par ^ '-^ — - ^ \ ï C le

coefficient de ^^ dans la somme des produits ci-dessus, on aura

^ ^" c/A'» ^^ ^i dh dh'^-' ^

ou bien

[ rf'"(fl-«)„ ,„ rf(9-°). rf'"-' (Ô»-'"). -|

ou enfin

re qui rend manifeste rexactilude de l'équation (2). Si l'on observe qu'on a, en général,

ft"Y(x) __<'/'"F(x-h/*)« et qu'on pose

l'équation (2) pourra s'écrire, plus brièvement,

On déduit de cette dernière équation une démonstration très-simple et très-directe de la série de Burmann.

Soit, en effet, x une fonction de y donnée par l'équation ^=ç(a:). En remplaçant, dans la fonction F (a:), a: par sa valeur en y censée déduite de cette équation, et supposant que F (a:) devienne alors une fonction continue de j^, le théorème de Taylor donnera un développement de la forme

F(x) = Ao + A,^+A2r'+

Différentianl n fois cette série et ayant soin de faire j^ = o après lesdifférenliations, on aura, sous cette dernière condition ,

___ I rf"F(j;)

" I . 2 . 3 . . « df^

OU bien , en ayant égard à l'équation (3) et désignant par a

( »9o ) la valeur de x, qui répond à y = u,