LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

1 . Dans le lome XXVII du Journal de d'elle (p. io5), . M. Eisenstein a signalé la relation suivante :

^"^ I =A;Aj-6A.A,A,A3-H4AaA; + 4AÎA,~3A; AJ,

"où*

k^=za^a\ — 3 a, «a «3 -H 2 a},

A, =— flo«2«3 + 2«; as-^a, a^,

. A2 = — «o«i<ïj+ 2flJ«;, — tfj^i,,

Si Ton fait •

les dernières relations reviennent à

i du i du \ du \ du

Ao — -J— 9 A I ^ — — 9 Aj 77 -7— 9 A3 r— •

2 a^o O a^i o da^ 2 ^^3

L'expression w est le discriminant bien connu de la fonction homogène du troisième degré

(2) «oJ?'-H3ûr,:c»r-+-3«,jry'-hrt3jr3;

et si Ton désigne par U le discriminant de

, n V du ^ du du du

Téquatiou (^) pourra s'écrire

M. Sylvester a- appelé l'expression (3) Véi/ectant du discriminant de la fonction (2), et généralement, si l'on considère la fonction homogène du n'^"*" degré

(4) «0 -^ -H na, .r«-' j -f- ^^^'"^'^ a, JO^'y 4- ... 4- a,, ^„ ,

et qu'on représente par (f un invariant quelconque dé cette même fonction , il nomme évectant de cet invariant l'expression suivante : *

Cela posé, la relation d'Eisenstein peut être démontrée et généralisée au moyen de ce théorème : *

Si l'on considère Tévectant d'un invariant quelconque d'une fonction homogène du /i'*'"* degré, tout invariant de cet évectant sera une fonction algébrique, entière, rationnelle des invariants de la fonction homogène considérée.

Cette proposition pourrait se déduire de l'importanlc loi de réciprocité de M. Sylvester (*) 5 mais il ne sera peutêtre pas inutile de l'établir directement comme il suit :

Un invariant quelconque f de la fonction (4) doit, comme on sait, satisfaire aux deux équations

(5) 2 r«;., «,.= o, 2 (/z — r-î- i)/î^ar i= o,

OÙ ar = V*î ^^ pareillement un invariant à de l'évectarit

dur *

(*) The Cambridge and Dublin Mathemalical Journal, november i85q. — On thc principlcs qf the calculas qf FormSj scct. IV.

de l'invariant (p, c'est-à-dire un invariant ^ de

a» .v" -h a, x"-' X 4- «v ^""^ j' + • • • "+" ^" /" sera déterminé par. les deux équations

L'invariant ^ sera évidemment une. fonction algébrique, entière et rationnelle des coefficients «o? «!)•••? «115 et l'on aura

^^I* ^ d"^ doLs

dur -^ dcts dOr

Tk • 1 docg d}o doLr .X ' 1

Par suite, en observant que —— ==— — i— =-r-» " viendra * aar dasdor dos

sz= n r=:n

^ri d^ ir% d'^ yc^ dxr

21 '•"'-rfj,=2;-âT.2i '•"'-' ât;

Mais la première équation (5), différentiée par rapport à a,j donne

donc , en observant que a„+i n'existe pas ,

/ == n f = rt — I •/• = n

c'est-à-dire, d'après la deuxième équation (6),

et l'on trouverait de la même manière

Ces deux équations démontrent que ^ est un invariant de la fonction (4), ou, en général, une fonction algébrique, entière, rationnelle des invariants de cette même fonction.

Si Finvarîant (f est du m'^"*" degré, et que l'on syippose ^ du degré r par rapport aux coefficients de l'éveofant, ^ sera du degré r[m — i) par rapport aux coefficients de la fonction.

Dans le cas où la fonction est du troisième degré, son unique invariant est le discriminant u ; conséquemment le discriminant U de l'évectant de u (lequel discriminant, d'après ce qui vient d'être dit, sera du degré 4-3) devra ^ être égal à une fonction algébrique, entière , rationnelle du degré de m, c'est-à-dire on devra avoir

U = AaS

h étant un coefficient numérique qui, comme on Ta vu, est 1 égal à i6.

Pour la fonction homogène du quatrième degré

on a rinvarîant quadratique

l'invariant cubique

Y3 = ûo a^ ^74 + 2 ^, <7: £?3 — ûo ^3 — <74 « J — û J ,

et le discriminant

(7) D = YÎ-2,YJ.

Représentons par K,, E3, Ee les évectaiiis correspondants à CCS trois invariants, et par Yj(E,), Yj (Es),Yj (Et),.* • les invariants quadratiques, cubiques, etc., des évectanls

En prenant, par exemple, la forme Y3 (Eg), évidemment du quinzième degré, on aura, d'après le théorème précédent,

Y3(E.) = /YÎY,^-;7lT;Y5^-/lY;;'

et pour Yt(E8), du quatrième degrés on aura aussi

Ij m, n^ p étant des coefficients numériques. Ces coefficients, pour la fonction homogène du quatrième degré, se déterminent facilement, et l'on obtient les relations

Y,(EO = Y„ Y,(E3)=:^Y5, • Y,(Ee) = 9Y;(Y;-27Y;) = 9Y5D.

On trouve semblablement

Y3(E0 = Y3, Y3(E3) = ^(54y;-Y;), Y3(Ee)=-54Y3D%

et enfin

D(Ee) = Y;(E0-27Y?(E0 = 7a9(Y;-54Y;)D*.

La dernière de ces relations est pour les fonctions du quatrième degré l'analogue de la relation (1) pour les formes du troisième degré.

Des équations

dûo ' r/rï, dûn

on peut déduire ^0? ^iv**9 ^n ^^ fonction de «o-. «i,.., âr„

et réciproquement ; et si Ton considère <f comme dépendant de «0 9 c^iv • •) ^/> ^^ tant que ces dernières quantités dépendent elles-mêmes de ao, a^ , . . . , on aura

d(f da^ d (f d a-i da^ dor dcx,i dOr

dff ddn d^

doLn dOr dflr

On peut déduire de là les valeurs de -r^ » -7^5 - '- agt^ dai

aura par exemple

ou

d(f da^

doLi dox

doLi

dttn

da^ d oii ' da^ dttx

da^ dcLn

dan

dûni

• 9 et Ton

En se rappelant que -^ = -~ » l'équation précédente peut

dar

se mettre sous la forme

(/w— l)ao

dao dft.

dxo dan

doLf

dan

dax dan

et , comme en vertu de l'homogénéité de 9 »

ao

dcLr

da^

doLr

''in;:

dan ^ ^

si l'on ajoute aux éléments de la première colonne ceux des autres colonnes respectivement multipliées par — Ct 3 — «2 , • . • , — un 9 ou obtient

et généralement

Il résulte de là que si l'on considère Tévectant de l'invariant du degré r d'une fonction homogène quelconque (4) ^ l'invariant du r'*'"' degré de cet évectant pourra s'exprimer par le moyen de l'invariant considéré de la fonction , c'est-àdire que l'on aura, en se conformant à la notation adoptée.

En faisant , pour abréger,

(la.

on aura

et, par suite,

rfY,(E.)^Y,.,^^

dOLs

Ces relations se vérifient précisément pour l'évectant du discriminant de la fonction homogène du troisième degré, et Ton a

U = i6ie%

"«0 aaj rta3 «aj

formules que M. Ëisenstein avait données sans démonstration.