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tîon des équations. Considérons Véquatîon

et supposons que les coefficients a, soient des fonctions d'une variable j^. Soient Xi , x, , . . . , j:„ les racines de cette équation. En substituant Tune d'elles, x^ dans cette même équation et différentiant par rapport à y dont x est alors fonction, il vient

f [x) étant la dérivée àe f[x) en n'y faisant varier que x elf {y) la dérivée de la même fonction quand on a égard à la seule variabilité des coefficients. Or en désignant par A le déterminant

on a (voir pages 88 et 91 ) I I d^

Y'[œ) l^dx''-'

Sq Si , , . Sfi—i Si 52 . . . Sn

I X . , . ar"-* I

par conséquent, en substituant, il viendra

Si l'on suppose que les coeiBcients de f(x) = o sont des fonctions linéaires entières de la variable j", on déduit facilement de cette formule l'important théorème relatif à la résolution analytique des équations algébriques que le professeur distingué M. Betli a publié dans les annales de M. Tortolini (année i854). Effectivement, quand on suppose

îJ en résulte

et le polynôme Q se réduit à une fonction algébrique rationnelle de la seule variable x en remplaçant dans ce polynôme j* par sa valeur — 77— (• L.^ formule (*) se présente

ici sous une forme plus commode dans les applications que celle que lui a donnée M. Bctti. Nous prendrons l'exemple même que choisit cet auteur, savoir

On a dans ce cas

D = 5^j'(j':f-io8),

o — /?3 ( ^^^^ — 4*^^ J + i2o.r* — tiSx^y 4- ^'\r^\ ^"~ \ -hSoox' — 4oa:j4-8j' /'

ou , en mettant pour r sa valeur a:' 4- 5 a:',

Q = 53^«(x'-h5)'(j:«-h4'=P*— Sx'-^ 12);

et, par conséquent,

5 '^X^{x^-hJo8) = x{x' + 5) s/{x^'h^x'^8x'-h 12).

dx d* X

( * ) La formule dont il s'agit faisant connailrc -7- et par suite —r-ri II sera

possible, par la formule de Macluurin ovr de Taylor, de développer x suivant les puissancoa de^'. ( Note du Traducteur.)

11 est évident que toutes les fois que ^ {x) sera égal à une constante, f se réduira à une fonction entière de la variable x et du degré

- /ï {// — 3)-+-a = {fi — i) (« — 2j,

et D sera du degré n — i .

Je considère à présent les deux équations

(iXr da^ dxr da-i dxr dun

da^ dx,. dOi dxr ' da„ dxr

djCr dûi d.r,. da-i dXr dOn ^^.

doy dXs dX'i (Ixs dûn dx,

on en déduit, en multipliant la dernière par x\ et sommant

par 2,,

sz=n s=^M s= n

dXr v^ r/rt, / dxr v^ da^ , dXr v^ da^ ,• »

do, ^ dx, '^ da, ^ dx, '^ da,, ^ dx, ' '

Mais

"' ^ "^"5 ~ "" i^i-^^-^ -^ ^^ ''■'+r 2 -f- . . . H- C'r-i à'i) = Ai^r ( );

donc

, . , dx , d.r ^ djr

^ ^ da^ da^ da^

équation aux dérivées partielles à laquelle doit satisfaire une racine quelconque à,e J [x) = o (***). Il importe d'ob-

(*) Elles résultent immédiatenieut de ^ = ^7/ — quand on y fait

i =^ I Mieeessivement » ^^r^, ? = *j- ( ^^^ ^"' Traducteur.)

{** ) Voir la remarque qui termine le précédent Mémoire de M. Brioschi.

{Note du Traducteur,) {***) Crule, tome XLVllI. Article du professeur Raabe.

[ :ii3 )

^"ver (juc Téquation (a) ne peut fournir que /» équations

^pendantes entre elles et qui proviennent de / = o ,

. . , /i — I ; car celle qu on trouverait en posant i := /i

de CCS dernières multipliées respectivement par

. . ., rtj et ajoutées. La môme chose a lieu pour

'uivante, qui n'est autre que Téquation (a) mise

re forme:

f/x dx

^^and on suppose /= o, l'équation [a) devient

dj' , , dx dx .

n h (« — l) tf I -j J- . . . -f- Gn-y -7 h l = o,

dax dûi dan

et l'on vérifie quelle est satisfaite en prenant

OÙ

et où ^désigne une fonction arbitraire. On remarquera que les a^ sont précisément les coefficients de Féquation que Ton obtient quand on fait évanouir le second terme de

Les quantités or^ étant homogènes en indice (*) par

( • ) Voir la remarquo qui termine le Mémoire.

rapport à ^i , a^ , . . . , a,.^^ , on aura

W ^'3r- + 2£i2— -H-...-h(r-|-ï)fl,+,-- =(r + i a,.

Au moyen de celte équation et de ses analogues, on transforme aisément celle quî se déduit de (a) pour i = i , savoir :

tùp dx dx

</«, dOi dûn

et l'on trouve

do dfo dm

d'où

(r) ç = ;j/(p,, Pj,,.. ,P„3) v^,

(p étant le symbole d'une fonction arbitraire, et

Les quantités \/^i , ^jSg , . . . sont les coefficients de Téquatîon que Ton obtient quand on fait disparaître le second terme de f(x) = o, et qu'on réduit à l'unité le coefficient du troisième; effectivement, par la substitution

colle équation devient

Si dans l'équation («), quand on y aura fait i= 2, on substitue pour x sa valeur (/-»), on obtient, après quelques

( ai5 ) mluctioiis,

(IfD I 2 2 ~|

^r-f- !(''-+• ^)^M-i — -•('•-f-Ort. «r (n — r)a,a,,

(icx-r , n ■ n J

avec les conditions «o = o, <3f„ = o ; et en substituant poui* ç sa valeur (c), on obtient

avec les conditions (3o = i , p„i = o.

En faisant

il vient

équation (ju'il faudrait intégrer pour connaître la forme de la fonction ^

(Pavie, octobre i8;V|.)

Remarque du Traducteur. — Si l'on considère un terme kal^ah,., ai" d'une fonction algébrique, entière et rationnelle, et qu'on multiplie l'indice de chaque lettre «/ par l'exposant de cette même lettre, la somme faite de tous ces produits , c'est-à-dire i Ai + 2 ij -H 3 X3 + . . . + // i„ , est ce que M. Transon nomme \ indice du terme doni il s'agit. L'indice ainsi, dctini restant constamment le même

{ai6) pour les différents termes de la fonction, on dit 'dans ce cas que la fonction est homogène en indice. Une pareille fonction vérifie , pour 6 , l'équaflon différentielle partielle

rfô d^ dB

. où p désigne Findice. Et si l'on cherche les fonctions algébriques (j^i vérifient réciproquement cette équation, on trouvé qu^elles sont nécessairement homogènes en indice. Il suffit pour s'en convaincre de remplacer a^t, ai ,. . . , a„ par

«^\ ^35 • • • 5 û^' ^^ V^^ réduit l'équation précédente à la forme canonique qui caractérise les fonctions homogènes.