IX X
IX y
I XeXe
IX y
ip^^yi
1 Xt /s
IX y ix,y, I x,yz
IX y
ixsy[
IX y
iXeye
Cette équation représente évidemment une courbe du troisième ordre, et comme elle est d'ailleurs satisfaite quand on fait x= .Tj, jc,, . . . , are» JK =JKi9 J^t? • • • jJKe? la courbe passera par les six points donnés.
§ IV. — De la résolution des équations algébriques linéaires.
Les formules trojuv^es au § III . sont d'un grand usage dans la résolution des équations algébriques linéaires. Si Von considère le ^y$|[)ème d'équattons
^72,, X,-f- «j,2X:,H-* . .-4- a2,nXn= «2,
( '5) on obtiendra la valeur d'une quelconque des inconnues ^1 5 ^t) • • • î ^n» P*'^ exemple de x,, en multipliant ces équa-
rfP rfP dP
lions respectivement par -; — » -r — > • • • » r — > et aioutant
les résultats obtenus. En effet , dans cette somme tous les coefficients des inconnues , moins celui de x,^ seront égaux à zéro , puisque leur cornposition est la même que celle du premier membre de la première équation (4)9 et le coefficient deXs sera égal à P en vertu de la première (3) ^ on aura donc
le symbole a^,, représentant le déterminant (2). Par ce procédé, on formera le groupe
Pj?,= a, a,,,-f- Waa,,, -+-- . .4-ii«aii,i,
Pxn= aia,,„-4- aîaa,„4-.,. + /i,a„,„,
qui fournit immédiatement les valeurs des inconnues. On remarquera que le dénominateur commun de toutes oea vatleurs est précisément le déterminant P, propriété qui^ signala pour la première fois par Cramer, peut être considérée comme l'origine des recherches ultérieures des géomètres dans la branche de l'analyse que nous exposons.
Pareillement, si 1 on considère le système
«bi ^1 4- «M Za -f- . . . 4- an,t Zn=Viy Oi,n ^1+ «a,n 2a 4- . . . 4- a„,„Z„=r«;„
[que quelques auteurs nomment système dérii^é du sys-
( «6) tème (i6) ] , on obtiendra
n est important d'observer que les inconnues des deux systèmes (i6) et (i8) sont liées par une équation que Ton obtient en multipliant les équations qui précèdent par iii, Utj*.»jUn respectivement, sommant les résultats et ayant égard à (i 7) ; ou bien en multipliant les équations (17) respectivement par ^19 ^s? • • • 9 ^n sommant les résultats et ayant égard aux équations qui précèdent. De Tune ou Tautrc façon , on arrivera à
(19) a, 2, + a,«,-f-. . .-f- a«e«=«',4:i4-«'»x,-f-. . .-+-p«jp«.
Les équations (1 7) subsistent quels que soient Ui, Us,. . .,u„; si donc toutes ces quantités sont égales à scéro et qu'il n'en puisse être de même de jTi , :rs, . . . , x„^ on devra avoir
J^wt ou Ton voit que cette dernière équation est le résultai dé Télimination des inconnues x^^ Xi^...^ x^ entie les équations
^M J^i -+- «M^a-h. . .-+- «i,„ar„= o,
(20) ^3,1^1-+- «î,2^î.-f-. ..-+- fl2,„a:rt = o,
«11,1 ^i-H ^n,2 ^3 4- . • «H- a„^n •a?ii= o ,
OU, si l'on veut, le résultat de l'élimination des inconnues Zi, z,,. . ., z„ entre les équations (18), quand on y suppose l^j = f/, = . . • = v„ = o.
Si Ton fait
les équations (17) donnent
d^où
(21) x,:xi: *,...: jf«
À^s,! fla,a« • •«î,if
fli,i «a,l«
«il,0 ««,» • • • ««,»
Ces proportions font cdniialtre les valeurs des Rapporta qui exiàl^nt entré les /i + i inconnues oTç, Xi^ x^^ . • ; ^ x„^ qui entrent dans les équations en nombre n .
fli,« ^« 4- ^1,1 a?i 4- . . . 4- «1,11 a?« = o , tfa;o a?o 4- ûa,i ^1 4- . . . 4- ûa,„ ««= O ,
o»,o ^0 4- a«,i ^i 4- . . . 4- ««,» a?i, =± o. applications.
i^. En représentant par -9 - les coordonnées d^Un point
quelconque d'un plan^ Téquatjon d*une conique âitué^\3iiM cepUuËsera
^=: £wr?' H- ij* -I- ca* -f- 2 e/z -+- a^« 4- 2 Axj^ = p. • Pour que la droite représentée par Téquation
ix 4- mx -f- «2 = o soit tangente à cette conique ^ on devra avoir les relations
«X, + hjTt 4-/8i / == a,
/r, -f- c/, 4- czj /i = o,
/xi-H/?îri4-./ïZi=o,
Hl
( .8) OÙ Xi, j't? ^1 sont les coordonnéesdu point de contact. La condition nécessaire pour que la droite soit tangente à la conique, sera donc
Imaginant une seconde droite
la condition pour qu'elle touche la conique sera
h h e nii / e c rii
/| /72, hi o
Pour trouver les coordonnées du point de contact , observons qu'en posant
l m ^n, o 6 /| If] /?i o o
et ayant égard à (23), (24)) on a les équations
dix dnii
dà di
dà
dà .dà
.,d^\ dà dà •
'dà dà dà ^ ^
dans lesquelles -rr- 7 -r— j -r- sont les dérivées partielles du ^ ail dnix drix ^
déterminant A par rapport aux éléments /i, /tii, tii qui
constituent la dernière ligne ou bien la dernière colonne.
On a fait d'ailleurs
h b e m H=dz ,
/f mi /7| o
Il suit de là que les coordonnées du point de contact de la preunière droite-avec la conique seront déterminées par les rapports
rfA dL dùk
et l'on aura semUablement pour |es coordonnées du point de contact de la seconde droite avec fa conique,
dà dà dà
dl dm dn
Si l'on se souvient que
dÙLd^ dà dA
dm drtf
dmx dn dmdni*
dàdà^dà^dà^ d'à dn dix dnx dl dndl^
dà dà dà dà d'à
' • ^— -^^ » HT à " * dl dmx dli dm dldmx
l'équation de la corde de contact sera
dmdnx dndlx*^ ' dldmx
ou bien, en désignant par j:©, yo> ^0 les coordonnées du
poiat dç rencontre des deux tangentes ,
ou encore
La droite que représente cette équation est nommée la polaire du point (jr©, j^i, Zq) lequel prend le nom de pâle.
En concevant deux autres droites représentées par les équations
. l'x 4- p J 4- V z = o , Xi«-f-fAir-+-Vi* = o,
et supposant quelles ' touchent la coniqutf^ la polaire de leur point d'intersectîbn aura pour équation
fe c
> 'fA V
\ fi V
\ fA| V,
X| fA| V,
X, Pi V,
4^1 IW désigne par X , Y, Z les coordonnées dû point de rencéntre des deux polaires , par Xi, yi, z^ les coordonnées de la commune intersection des deux droites (26) et que l'on pose, pour abréger,
^c— ^»=A, ac— /^ = B, aô— ^»=G, 1?/— Ac = H, he — hf=Y, hf—aez=Vs, onaura *
H(ro2i ~ri 2«) -h B (x,«,— oToz,) 4- E (j^ori — *iro) = ^y,
Aï étant une indéterminée. De ^ces équations ; en faisant
on déduit
^.5.-r,^. = ^{X(BC~E')-*-Y(EF^HC)-f-Z(HE--BF)|',
a?,io-«r,». = -^{X(EF— flC)-4-Y(AC-^F0-f-Z(HF— AE)|',
^•r.—*.r.= ^{X(HE— BF)4-Y{HF-AE)4-Z(AB — H»)j;.
Si l'on observe qu'en désignant par S le déterminant
h h c f e ç on a
(BC — £*)=«», AC— F=» = ftS, AB— e^=tfS,
EF— HC = /iS, HE-.BF=/S,^ HF— AE = ^S,
H=.S'(*), il eQ résultera^
ra?.~ri«. = ^(aX-hAY4-/Z), .
•^•>-.-.^. /•= g(/X 4- eY 4- cZ).
Maintenant Téquation de la droite qui passe par les deux pôles, c'est-à-dire par les deux points (a^ojj^o? -s^o)-» {^x^Ji'i^i)'» est
(ro2f» — .^, zo) 3ç 4- («0^1 — 2i J?«) y 4- (oTori — ^l7o) « = Q^
(*) Ces relations seront démontrées en général au § VI.
elle deviendra donc , en ayant égard aux équations précé* dentés, . .
(aX-f-ATH-y7) ^4- (AX-^ 6y-+- eZ) /+ (/X-4-^ Y+c Z) z = o.
La droite représentée par cette équation se nomme la polaire du point (X, Y, Z) ^ et les deux systèmes composés, l'un du point {Xf^^y^^ z^) et de cette dernière droite sur laquelle ce point est situé, Tautre du point (X, Y, Z) et d^ la droite (26) sur laquelle ce dernier point es%situé , sont dits polaires réciproques l'un de l'autre.
3°. On nomme discritpinant d'une fonction homogène à deux variables le premier membre de l'équation qui résulte de l'élimination de ces variables entre les équations que Ton obtient en égalant à zéro les dérivées partielles du premier ordre de la fonction proposée par rapport à chacune des variables. Soit
«a:* -H 4 bx^y -H 6 cx^x^ H- 4 dxy^ -f- ejr*
la fonction homogène dont on cherche le discriminant. Egalant à zéro les dérivées partielles du premier ordre de cette fonction par rapport à x et à j, il vient
ax^ -H 3 bx^y -f» 3 oxy"^ 4- dy^ = o , bs^^Zcx^y -^Zdxy^-^ ey^^=o.
Pour éliminer les variables jr, y entre ces équations ^ nous ferons usage d'une méthode due à M. Sylvester, et qu'il a nommée méthode dialy tique (^). Si l'on considère les six équations obtenues 'en multipliant chacune des deux précédentes successivement para:*, xy^y^j il est manifeste qu'en regardant les six quantités x*, x*/, x^y*^ a:*y', ay*, y^ comme les inconnues à éliminer, on a six équations analogues à (20), et que partant le résultat de l'éli-
(*) Philosophical Magazine, june 1841.
( ^3 ) mination s^oblieodra en égalant à z^ro le déterminant des coefficients. Pour rendre évidente cette assertion, écrivons ces six équations de la manière suivante :
ax^ 4- 3 hx^y H- 3 cx^y'^ 4- dx'^y^ H- h- . = o,
• H- ax^y-^-Z bx^y^ 4- 3 cx^y^ H- dxy* -+- . = o, . 4- . -f- aXj^y^-^-Zbx^y^-^-Zcœy^ H- <//» = o,
ba^ 4- Zcx'y 4-3 ^^7* 4- ex'^y^ H- . 4- , =;= o,
. 4- bx'y'\-'àcx'y-'\'Zdx^y^'\- exy' -^ . =0, . 4- . 4- bx^y^-h Zex''y^'\'Zdxy* -h ey^ î=: o,
et Ton aura, pour le résultat de Télimination,
aZbZcdoo o a 3 b 3e (i o o o a 3b 3c d b 3c 3d e o o o b 3c 3d e o o o b 3c 3d e
Le premier membre de cette équation est le discriminant de la fonction homogène du quatrième d^ré à deux variables. La valeur algébrique de ce discriminant a été mise par MM. Boole et Cayley sous la forme très-simple
(ae — ê^bd-^ 3c»)'— iii{ace— ad^—eb*— c^-h ^bdcf.
De ce qui vient d'être dit, on conclut sans peine que, en général , le discriminant d'une fonction homogène à deux variables du degré n est une fonction homogène des coefficients du degré 2 (n — i).
3°. Soit u une fonction homogène du r**"** degré des n variables x^, X,, . . . , Xn' En posant , pouf abréger,
du
dXr dxj
on aura , par un théorème connu d'Euler,
se, «M -f- X, tt,,, 4- . . . •+ x^ tt,,„ — (/• — i) /j,=: o, • X, ii,,,-f.*,tta,j4-. . .4-^»«2,«— ('•--0 l«2=0,
X, M, 4- a?a «ï -+- • • •+ ^n «n — ra = O.
L'élimination de x^^ Xt, • • • 9 ^n entre ces {n + 1) équations donne
Wl ^2. ..«»
d'où
U, U2 . .Un O
H suit dé là que, pour les valeurs des variables Xi^ Xi^. * .fXn qui rendront nulle la fonction u , le détermi-» nant
*ii,i «11,2 • •«n,ii«ii U, <«2 . . . «, O
sera lui-mênçie identiquement nul.
Si l'on suppose n = 2 , le trinôme
«,,, aj — 2 «,,2 «I «î 4- ?*2,3 «î ,
^ { aS )
sera nul pour toutes les valeurs de Xa Xt qui satisfont à l'équation u(Xiy a:,)=.o; ou, géométriquement parlant, si cette dernière équation est supposée représenter une courbe , le rayon de courbure sera infini en chacun des points de cette courbe , c'est-à-dire que l'équation
U (Xi , Xi) = o
représentera un faisceau de r droites.
De même l'équation u(xi, Xs,ar,)=:o représente un cône.
§ V. — Aluhiplication et éléi^ation aux puissances des déterminants.
Considérons deux*systèmes d'équations de la forme
«i.,i «I 4- ««,2 Xj-f- . . . 4- ««,«X„ = Un\
C\,x r 1 4- <?2,i |(» 4- . . . 4- o„,, j^„ = ar„
<^i,2 yx 4- C2,2 r? 4- . . -4- Cn.^yn = ^a,
c,,„jri 4- Ci,ny'i 4- . . . 4- c„,„r„ = a?«.
Si de ces deux systèmes on veut déduire les valeurs de rnr«r---ir« ^n fonctiondeai,,,ai,,,i..5C,,^, Ci,„...5 î/j, Mj j . , . ^u^y on peut suivre deux voies différentes. OuPon peut substituer dans le premier système les valeurà de Xi, OTi, . . . , x„ fournies par le second, et résoudre les équations résultantes, ou bien on peut déduire du premier système les. valeurs de Xi, iri,. . ., x„, et, les ayant substituées dans le second, résoudre les équations ainsi obtenues. Les valeurs de yi,^',,.^ .,/„ fournies par ces deux mé-
thodes devront être identiques; et^ l'ëquation que Ton formera en égalant entre eux les dénominateurs de ces mêmes , râleurs sera précisément la traduction analytique de la règle qui gouverne la multiplication des déterminants.
Substituons, dans le premier système, les valeurs de jTi, Xfy, . ,,Xn fournies par le second •, en faisant , pour abréger,
«1,1 ^2,1 -H «1,2 ^2,5 -h . . , -f- «,,„ Cj^n = a, ^2 ,
«1,1 ^«,1 + «i,ï «^11,2 •■+-... -*r flr,,„ r„,„= /r,,„,
««,1 tl,»-f- «ll,2<^l,2-
- ««,n^3,ii= ^Vî»
«n,» ^11,1 "I" «11,2 ^«,2 4" • • • 4" «n,n ^n,n — "n,af
ou obtiendra
. ^i,iri'+-^i,araH-...4-A,,«7„=r«,, Aa,i7i4- ^2,2/2 4^. . .4- //2,n/«= W,,
^«,1 ri 4- /in,2 /» 4- . . . 4- /<«,«rn = "« .
et si delà on déduit les valeurs de j^i, /i,. . .,/„, ces valeurs auront pour dénominateur commun le déterminant
ài,t ^1,2. . .^1,11
(27 ) Si , au contraire , on tire du premier système les valeurs de Xi, jCj, . . . , j:„ , leur dénominateur commun sera
et lorsqu'on aura substitué ces valeurs dans le second système pour en déduire celles dej^j, j^,,. . .,/„, le dénominateur commun de ces dernières valeurs sera évidemment le produitMu déterminant qui précède par le déterminant
Ca,\ Cn,2-
Du rapprochement des valeurs j^;^, y j,. . .,j^„ obtenues dans l'un et l'autre cas, résulte immédiatement
ce qui est précisément la formule cherchée pour la multiplication des déterminants. En jetant les yeux sur les équations (37), il devient manifeste que les éléments qui constituent une même ligne du déterminant-produit ne sont autres que les sommes des produits des élémentlf jd'une ligne du facteur P par les éléments des diverses lignes du facteur Q. Il est évident que le déterminant- produit pourrç^ encore s'obtenir en effectuant ces multiplications des éléments des déterminants-facteurs , soit par colonnes , soit par lignes.el colonnes; ces diverses manières de procéder changeront bien la forme du déterminant-produit , mais sa valeur algébrique sera toujours la même.
(28) Ainsi , par exemple , le produit des déterminants binaires
pourra s'écrire des (juatre manières suivantes :
£iaH- b^ ay -f- bê' COL H- c/p C7 -4- de
ax-h by flp 4- bS COL -^^ dy cp -^ de
aa -4- cy iip H- cS ba-h dy b^ '\- dS
aa -hep ay -h c8 boL ^dp by -hdd
Si les éléments du déterminant P sont respectivement égaux aux éléments du déterminant Q, Téquation (3o) donnera
et les éléments du déterminant R seront fournis par les équations
