fl
OÙ les indices r, jr doivent recevoir toutes les valeurs i, 2^. . . , /s»
Il est important d'observer que dans un déterminant , carré d'un autre déterminant , les éléments conjugués sont identiques entre eux.
Applications.
1^. L'équation du troisième degré que Ton rencontre , dans la Géométrie quand on veu\ déterminer les axes prin* cipaux d'une surface du second ordre , dans la Mécanique quand on cherche les axes des moments principaux d'inef tie d'un corps , dans la Physique mathématique quand ou désire connaître les forces principji^es d'élasticité ou les axes de rellipsoïdc d'élasticité , etc. , peut se mettre sous la forme
d'un déterminant de la manière suivante :
P a cr — )l
Les racines de cette équation sont réelles. Cette proposition, déjà tablie par MM. Cauchy, Kummer, Bcjfchardt, Jacobi , vfent de recevoir tout récemment de M. Sylvester (*) une nouvelle démonstration très -simple et trèsélégante, fondée sur la règle relative à la multiplication des déterminants.
En multipliant le premier membre de cette équation par le détérminanl/*(i), on obtient effectivement
où Ton a fait , pour abréger^
«»-4-p*-f 7«=A, ap + 7(fl4-*)=F, ^*-h oi^Y = B, a7 -h p (a -4- c) = E,
on a donc
et Ton observera que les coefficients L, M, N sont positifs, ces coefficients pouvant aisément être mis sous la forme : ■ -
M = {àb — 7')* 4- {ac — p'^-f- (btf-^ ol^Y
(*) Philosophical Magasine, iSSî.
( 3o ) Si Ton fait
a = ai-hp9 bz=iby'^py czzict-i-pj *a = >,-4-/>,
la fonctîon/( — X) deviendra
et l'ëquation q) ( — X, ) ç ().,)= o sera de la forme
XJ — L,XÎ-hM,XÎ-^N, = o,
les coefficients Li, Mi, Nt étant positifs. En lui appliquant la règle des signes de Descartes, on reconnaîtra qu'aucune des valeurs de Xj ne peut être négative, c'est-à-dire qu'on ne pourra pas avoir' (A — p)'= — 9*? et, par suite, Izzzp -\-q sj — I. Il est donc démontré que les racines de réquationy( — i) == o sont essentiellement réelles.
Observons que cette démonstration, comme celles dfe MM. Jacobi et Borcbardt, s'étend aux équations du /i'*y degré qui ont la même forme , ainsi que "ùfOm le verrons dans la suite.
a**. Soient ai, (Sj, yi,-, a„ (3,, y,^ ag, p,, y^ les cosinus des angles que trois droites issues d'un même point forment avec trois axes rectangulaires; et Wj, 6>j, w, les angles que ces droites comprennent entre elles. On aura les relations connues
et, par suite.
«i pi 7»
«3 Pa 73
aia2 4- PiP2-+-7i72=ïCOSw3,
«1 «3 4- Pi PjH- 7i73=» COSW2, ajajH- P2p3-f-72 7s=c6sw,,
I CCS lis COScJs CO8Ù3 I COSW| CpS&i] COSUi I
( 3. ) Or, en représentant par a, b^ c les cosinus des angles que fait avec les axes la perpendiculaire au plan de deux droites, * la seconde et la troisième par exemple , on a , comme on sait,
^ ^ P»7»— p3 7a i..4, «-^7»— «-^73 ^ |, «»P3— «3pa
sm&)| • siDo»! sinci^i
aa, -f- ^p, -f-c7, = sinwa sinO^^ sinwj sinôj,
6ij ds9 ds désignant les angles dièdres compris entre les plans dont les intersections communes sont respectivement la première , la deuxième et la troisième droite. En substituant ces valeurs dans l'équation (3i), il viendra '
sin&)| sino>2 sin^, = sino>i sin&>3 sin 63 =
, ± ^(l — ces' W, — ces' Wj — ces' W3 -f- 2 COSW, ces Wa COS «3 ).
3^. En s' appuyant sur la multiplication des déterminants , on.peut obtenir quelques transformations de déterminants, qui sont utiles dans un grand nombre de recherches. Nous donnerons deux exemples de semblables transformations. • -'
Si le déterminant P est multiplié par le déterminant
et que Ton suppose que les indéterminées a^, a,,. . .,«„ vérifient les n équations
«1 «1,1 •+- aj.ûa.i -+-.
«i «1,2 -h OL7 «î,2 -h .
ai«i,n-|- a2«2,«-+-. . H- an«ii,1»=0,
(Si) Ite déteiteinànt-Jproduit sera
ûa,i — Û,,i Û2,j «1,5 ûa,i^«i,i
fl2,ï «3,1 «2,
«3,2 «2,J «3,1 lli,l «|,8'»«^ï,n ^'J»!
I,t ''«J.II
«„-,,2 a«,,— «n-i,i «■,» «n-iis ^y»,!— ««-1,1 «n.â- * .<afji-i,ii ««,1 — «»— i,i«»ii, Maintenant en observant que
on aura
ï = (-iy»-«,,,«3,....«„:,,,t.
L'utilité dé cette formule vient d'être mise en évidente par M. Hermite (*) dans une recherche sur la théorie des nombres.
Comme cas particulier de cette même foirmulé , on a
Xr—X, Xr — X-,
x,— x, Xt — Xi
ni
équation dont le second membre est égal à ± — r ? A étant
l'aire du tH angle qui aurait pour sommets les trois points (^15 yi)> ('2Ct,y8)> («^8» Js) d'une ellipse aux axes 2a^ a&. Si maintenant X, fx, v désignent les longueurs des côtés du triangle , et / , m ^ n les demi-dîamètres de Tellipse respectivement parallèles à ces côtés , en élevant au carré les deux
(*) /ourna/de M. Liotiville, tome XIV.
inembres de l'équaticm précédente , il vient
d'où
Comme second eicemple de- transformation des déterminants , nous démontrerons un théorème énoncé par M. S7Ivester {*) et dont le même auteur a fait diverses applica-^ tions géométriques .
THéORÈMB. -^ La valeur du déterminant
fl,,, 02,7. . .fla
On.» an.7"'On
est égale à celle du déterminant
dans lequel
Ai,i Aa,3. . .Ai,n I
A/1,1 A;t,2«. An,n *
Ar,* == flr;* "♦- /<r 4" ^i )
Ai, At , . • M '^ir^à r* - • 9 ét^iit deux séries de quantités prises arbitrairement.
(*) Philosophiéal Magasiné , i85at
(34) En effet, en multipliant le déterminant (3a) par le suivant :
1 o. . .o Ai o 1 . . . o ki
o o . . . I A„ o o. . .o t et effectuant la multiplication par lignes , on obtient
Multipliant maintenant ce résultat par le déterminant I o. . .o o o I . . o o
o o. . . 1 o A, Aj.../i„ I et effectuant le produit par colonnes, il viendra
A = H, comme on voulait précisément le démontrer.
L'équation
