PQ

^i ïx a*

^2 Xt «2

AT, bx C, Ha bi Cl

.ar.ri 2,

«2 jj «2

.r, ri «I

fl, A, c,

*ij;i«i

a, bi c,

n,. 6, ir,

fl, b^ rj

flTg *3 C3

^2ra«2

«• ri «1

Jr, /, 2,

X, jTi «I

ar. /, «i

a, bi c,

«1 hx c.

^1 Jl «1

XzXi^

^1 JKi . ^2 Xi

Si l'on suppose que — 9 — ; — ^ *^; — » — sont les coor-

données de trois points A, B, C, et — j — ? etc., relies de

trois autres points a^b^Cj les équations précédentes équivalent à la propriété géométrique

ABC. abc = ACfi.Bbçrh ACb ,haç -\-ACç-Baliy o^^ACa.Ahc-^ACb.Aac-^ACcAabf

ABC, ûftc, etc., désijgnant Içs aîres des triangles ÀBC, abc, etc.

§ VI. — Déterminants à éléments réciproques ou déterminants de déterminants^

En représentant par P le déterinînani

^n,nO„,i.

dV

et fitisaut, pour abréger, a^ . = -; — , on nomme déterminant

dar^s

k éléments réciproques correspondant au déterpiinant P le déterminant suivant :

-Ûti,! «1^2. . -Cffiln^

*2,l «2,2» • •Ûf2,n

•On sait (§ III) qu'entre les éléments du déterminant Pe4 ceux du détern]|inant S , i^ existe leà relations

Or,i ar,i -f- rtr,2 «r,2 -+-... -f- a,.,^ a,,» = P,

par conséquent, en multipliant entre eux les déterminants P, S, on aura,

(40 doù

Si dans la seconde des équations (42) on pose 5 = 1, a,..,, n, on obtient n équations , d'où Ton peut déduire les yaleurs a^,i, a^,,. . .«;.,„. On trouve sans difficulté

et, par suite, d'après 1 -équation (43),

dS

^ar,j

En désignant par T, .V les déterminants à éléments réci* proques correspondants aux déterminants Q, R (28), (29), on aur^

^t , par suite^ d'après Téqualion ( 3o) , .

c'eét-à-dire, le prodiîit des déterminants à éléments, réciproques correspondants à deux déterminants P, Q, est égal au détermina Dt à éléments réciproques correspondant au déterminant R produit de P et de Q.

jippliçations.

Considérons les équations (20) et désignons par Jfr,i l Xr,% : ... : Xr^n k» valcurs dcs rapports Xi\Xtl.,.\x^ que l'on déduit des n — 1 éqoiiUon^ qui restent quand on eiçclut la r*"**"*. Nous aurons

En substituant ces valeurs dans le déterminant

on aura

1 étant une indéterminée. Si l'on suppose Xr,s==^ I9 il en résulte

Au moyen de ces formules on- peut résoudre les deux problèmes suivants ; i** trouver Taire d'un triangle connaissant les équations des côtés; 2** trouver le volume d'un tétraèdre étant données les équations des faces.

Les équations (43), (44) et réquation.(i 4) trouvée au §111 appartiennent à une série de relations qui existent entre -les déterminants de déterminants, et que l'on peut déduire de deux formules générales « ainsi que nous allons le démontrer.

Considérons les deux groupes d'équations (16), (17), et écrivons de la manière suivante i-\-i équations consécutives quelconques prises dans le premier de ces groupes :

Or,, Xs -h Or, s.

• H~ "r, u Xn — ^ tlf

OU

En désignant par P^,^ le déterminant

^v,nXn)y

(45) rfp, rfp,.

(43 ) et tirant des équations précédentes la valeur de x»» on établit aisément l'équation

Pr,l «1 -+- - . -h Pr,,-l ^.-1 4- P..U X« 4- . . • -4- P,,, *« ^ ^ ^ ^

Écrivons maintenant de la manière suivante n — i équations convenablement choisies parmi celles du groupe (17):

«1,1 Kl -+-... 4- «r-i.i «r-i -H «r.l «r 4- . . . -+- «»,! ««

= Pjp, — (ar,i «r-+-. • .-f-a,.-M «.— 1)>

a|,j «1 H- . . . 4- «r-M Wr-I -f- «F,! Wf -h . • . -f- ««,1 Un

= Px, — (a^,jttr-4 .. .-h a„,,a w^-i),

«l,« «1 -f- ... 4- «r-l.tt «r-i -h a.j,u «r 4- ... H- «n.u «n = PXu— (ar,u«r4-. . .4-Û^-i,uttf-i),

«i,/i «I 4- ... 4- ar,,„ «r-i H- av,„ «,.4- • :Px„ — (ar,„a;4-...4* a^-.,,„tt,,-.t). ,

. 4r CLn,n "» '

En tirant de ces équations la valeur de «^, en obtiendra sans difficulté

Sr,u Ur 4- S,.Hm "Wr+i 4- ... 4- Sr,a a„= P

où Ton a fait

^Sr,u ^S(»,i

. *r— 1,« 3Cn,,„ ^4-1,/t •..*/!,»

Observons que les valeurs Xu déduites des équations (45)5 (46) doivent nécessaij!*emeht coïncider, puisque au moyen des équations (16) on ne peut exprimer que d'une jseule manière la valeur de x^ en fonction des quantités o?!^ . . . , ar,i , Xu^i 5 . • • 5 ^n 5 Wr> ^r+\ v • 9 "i» ^^^ uombrc n. D'après cela , en égalant les [coefficients de ii,.^.^ (a^étant un quelconque des nombres de la série o^ i . . . i) dans les deux valeurs de x„ dont il s'agît, ôri obtiendra l'équation

On en déduit, en supposant a =^^7\ .

et comime

on aura

dotç^da,,

dP.,u

=;= Pr-

êt, par suito,

dCt^,U • ' ^^9,1

Si dans cette formule on fait./*=it i = i, on trouve celle qu'ont fait connaître MM. Jacobi et Spottiswoode.

Il est évident qu'on pourra obtenir une seconde formule analogue à (4?) en soumettant à l'opération ci-dessus indiquée i+ 1 équations, consécutives quelconques du groupe ( 1 7) et n — i équations convenablement clioisies parmi celles du groupe (^6). On arrivera ainsi à la relation

dans laquelle

^dSu,,dVu,p

* "7": ~i '^u,v^u,vy

- «Ou,, aan,9

• Ota~t,i; ^m,v

«1,1 ...ai.r-1 fl|,« «!,#+! ...«'mi

^«— i,f . • •ûi-i,r-i A«~i«m Of-i.r+i. . .«,-1,

*^Uji . • ' •«u,r-.|

et en observant que

•«■,r-i Û.,* rt/i>+i

on aura

Si dans (48) on posé /=co, et^par suite, i* z= r^ u=s 5, et qu'on fasse attention que

il en résultera

lr*Sr+c,*-f-«.=^ Pr-f-c— 1,5,+c— I «S*,

formule qui comprend comme cas particulier tant Tëquation (43) qui s'en déduit en posant r = 5 = 1, que l'équation (44) qiii en résulte en sujpposant c = i .

Pareillement si dans l'équation ( 5o) on faîti =t) et qu'(m observe que

il vient

Pc— I p — c ■

formule qui reproduit l'équation (i4) quand ç ±3 2. Applications, / L**, Soitieprésentéepar

U = 2r «r.r X^ "H 2 S, 2, ûr,i ^r ^if

(•) Les équations P^,^,==i, S,,^^,= i résultônt immédiatemenl de llBspection des identités \ ah

==. etc.

\o^^, = a^^r) une forine quadratique de /^. variablea. Observons que le déterminant P est le discriminant de la fonction U, c'est-à-dire le premier membre de Féqualion que produit Tëlimination des variables XijXt^. , .Xn entre les équations

La forme quadratique à n variablesr

V = 2,. cçr,r 3^ -ir 2 2,. Is a^i «r «i ,

dp dans laquelle ar,»= lïT"' ^^ nomme la forme réciproque de

U. On 'voit sans peine que la fonction V peut se représenter de la manière suivante par un déterminant :

et la réciprocité entre lès fonction^ U et V dévient complètement manifeste qu^nd on fait attention qU'en vertu de réquàtioii (44) la.fonçtion U peut^e mettre sous la forme

(53): ■ "-,prn-

Supposons

«M «1,2» • ««Ml ^1

z,=/z,,i or, -h «1,2 «2-+-. . .-f- a,,,» 0?!,,

Za = «2.1 Xi -f- «2,2 ^2 + . • . -h «2,» ^n »

Je dis <jiie dans ce cas on aura (55) V- = — P.TJ.

Pour le- démontrer, rappelons (page 5) que si aux éléments de la^vnière colonne du détérmitiant Y on ajoute respectivement ceux de Tavant* dernière multipliés par — otn 5 puis ceux de T antépénultième niuhî plies par — t„i, et ainsi de suite, la valeur du déterminant n'est pas altérée; mais en effectuant cette opération, le déterminant V, à cause de (5i), (54 ), se transfornle dans le suivant :

rt,,5 .

. an,n

Zl

Donc l'équation (55) est réellement vraie.

L'équation U =± o , pour w = 3 ou /i = 4 représente une conique ou une surfeèe. du second ordre : dans chacun de ces cas l'équation V = o t^présehtera la polaire réciproque correspondante.

Les formules précédentes sont d'un grand usage dau& la théorie des polaires réciproques et dans d'autres questions géométriques relatives aux lignes et aux surfaces du second ordre. La formule (55) peut conduire à la solution de ce problème : Etant données V équation cC une- conique et les coordonnées d'un point situé dans son plan, établir un critérium qui permette de dire si le point est intérieur ou extérieur à la conique.

Puisqu'un point est dit extérieur ou intérieur à une conique suivant qu'on peut ou non de ce point mener deux tangentes réelles à la conique, le critérium cherché résultera de la réalité ou de la non-réalité dçs coordoiinées des points d'intersection de la conique avec la polaire du point donné; E|l conservant les dénominations de l'application i^ du § IV, 'oh trouve facilement que la condition à vérifier pour que les rapp'orts xljrlz de^ coordonnées de l'inter-

*;eètioji , de la conique (f (aï," j, z)=o avec la polaire du point ( aJo, jo5 -«0 ) soient, réels , est la suivante :

oùl'dna fait

h > ê xi

X|. :;= ax^ -H I

En vertu de (55) , le crîténum cterché sera donc

a hf h h e

Ainsi le poitit sera îextérieur ou intérieur, suivant que. les deux facteurs du premier membre auront dés signes contraires ^u des signes semblables. Heàiàrquons que le premier de ces facteurs s'annule quand le point est situé stb la conique-, et "le second quand la conique se réduit à un système ^e droi tes .

à**. Considérons le déterminant . . ^

«a,2. • «a,n «a Zi

On,2*»»^n,n «n ^m

la formulq .(i4) doimera .

^aY/^"^'35 "51 . €/p rf.7'

(49) ou , en conservant les notations de l'application i* et supposant «;.,,= fl,;;^ a = (3 = 7 = J = o,