V -j "r,i -} h nr,7 -7 h . . . -f- Hr,n

««r,| «C4,, éTCj,, rtC„,,

et Ton obtient d'une manière analogue

VÎ ::; — nr,i -7-^ H- nr,2 -r h ... H- Hr,« -j — »

aar,i ac,,t dc^^-i dÇn,i

rfP rfQ rfQ rfQ

^ Zi — "r.l jj f- Nr,2 77 — -h ...-+- JHf „ •

aar,n aCx^n dCt,n aC„,n

Ces nouvelles équations multipliées respectivement par «r,i «r,f • «ûr,», puis àjôutées , donnent, en ayant égard au second système ,

(39) PQ= H... Kr,, -h H.., K..,-h. . . 4- H..„ K,,„,

eî ces mêmes équations multipliées par «,,1 a,,t • • '^s,ny puis ajoutées , 4onnei:it

Les H^,,, H^,, , . . K,,f, K^,^ . . . sont évidemment des déterminants du n'^'"" ordre.

Applications.

1^. Imaginons un tétraèdre rapporté à trois arcs.rect.angutaîreç ayant leur origine au cen(,re de gravité de l'unç des faces. Soient a, &, c les aires des autres trois faces, «1» Pli 7i 5 a« 5 i3« ; ys ^ «s , (Sa , y^ les cosinus des angles que les perpendiculaires abaissées de Forigine sur les plans de ces faces forment avec les dçmi-axes positifs des coordonnées. Soient enfin a:i, ji, z^ \ Xj,^,, z^ \ x^^j^-^ ^n les coordonnées des centres de gravité des mêmes faces, et i^le volume du tétraèdre.

Par un théorème connu à\ Iv M. Cauchy, on a Içs neuf

équations

En posant

o a, JT, -f- ba^^i -f- caa 0:3 = j^^ a a,7t + b oL^Xi 4- coL^y^ = o^ aa,z, -\- b 0L2Z2 -f- «ajZa =: oj

«Pi^i4- ^p^X2+cp3X3 = o,

«pir. 4- *par»-f- ^p3r3 = ^,

«p,z, -f- bp^z^-^ CP3Z3 =ov

fl7,jr,-i- ^7a:c2H-c73j:3 =0^ ay.Xt-hbytXi-^ ^73^3= o, «7»2|+ ^7»*a+ ^73«3 =.«'.

ca.

^P» ^Pt <^ft

=zabc

P^ Pa p3

Xi Xa JT,

Jt jT» . J^a

on a

Maintenant ^ d'après une formula coniiiie ^

et si i£ désigne le volume du tétraèdre qui aurait ses sommets aux centres de gravité des faces de la pyramide donnée , on a

par conséquent

Les équations (39) donnent ici ^

rfR V

dVi¥

^^*=rf?.R' ^'^'=;7p;r' ^"'=^f?^^

R étant éssl à -t' On déduit de là

° abc

et, par suite,

2 bc .

/ = sin w ,

/ désignant la longueur de Tune des arêtes du second tétraèdre , et Cl) Tangle dièdre compris, entre les faces aux aires 6, c. Mais si 1 représente la longueur de Tarête opposée à la commune intersection de ces mêmes faces , on a.

2 bc .

p= 2 -r- smw,

donc

a*'. Ayant fait

on a