py =p 14] 4-[9yTi
4 [lOj^ =F 16]
Ml
l[12yip 18]
Exemple numériqy£.
2/ = ^^ = 109 ' (Exemples 5 et 6.)
Les balais ont été trouvés dans Tordre naturel par la méthode du chapitre ii (p. 27).
y impair.
BAV. p
BAR
1 [3y rp 1]
Ordre -^ lUellslU i lu J
Ordrey -r^ lee le^ 4e£e
ORDRE
ORDRE
lly^i] .
V Py -1= 3J
4" [loy ^= 4]
|-[13î/Hr5]
Y [l^y rp -î]
4" Ci5y =F 7]
■ j[20î/Hr8]
Y [23j/ qr 9]
Y [2iy =F 9]
Exemple numérique.
(Exemples9et40.) /^ = 74 /, = .223
ORDRE
ORDRE
La méthode du chapitre ii a donné les balais en sens inverse (p. 29).
TABLEAUX GENERAUX BE S BALAIS
3** Etude du cas ou y est pair
A. — Formule^ et pas des balais.
y^ étant pair, y^ ne peut prendre que les valeurs paires 2.4.6,.. 2rf.
Posons :
' ri . ! .
nt)us aurons la double relation :
L; |-mv + 2j], [p^-|-^i]
Pour avoir les balais, dans Tordre naturel, nous devons donner à /, variable indépendante, les valeurs croissantes i.2.3...rf. ■ ' '
/ sera, à la fois, le numéro d'ordre dlin balai positif par rapport aux autres balais positifs et celui d'un balai négatif par rapport aux autres balais négatifs, mais dans l'ensemble de tous les balais tant positifs que négatifs les deux balais considérés occupent les rangs : {2j — 1) et (2y).
Des deux valeurs de ^y qui correspondent à ces deu;^ balais de signes contraires, Fune P'^est impaire, Tautre P'^est pa^ire, et comme rf,. premier avec y, est impair les valeurs correspondantes e', et t'j de tj ont, respectivement, même parité que ^'j et ^"y. Les valeurs paires e'^ donneront donc les balais de même signe que le balai zéro (lesquels d'après nos conventions sont les balais positifs) et les valeurs impaires e'^ donneront les balais de signe contraire'(balais négatifs). '\
Les deux valeurs de s^ inférieures à 2c? se trouvant ainsi utilisées toutes deux, l'indétermination rencontrée, quand y était impair (p. 48), ne se présente pas ici.
Désignons, comme précédemment, par p et e les valeurs de ^j et de £; pour j = i, nous aurons :
£ est le nombre entier inférieur à 2d qui donne pour p un nombre entier impair.
On peut dire aussi que e est le nombre impair inférieur à 2d donnant pour p un nombre entier.
Remarque \ . — Les valeurs de e) et e' ^ servant à la détermination de ^'j et .^^'j sont y respectivement y les numéros d'ordre des sommets impairs et pairs du polygone 1 -^ 1 •
En effet, traçons Iç polygone 1 ^ 1 • Dans ce polygone les termes :
X je 4-6,-
ont la luême signification que précédemment (lorsque y était impair § 2 A, p. 49) mais e étant ici impair par définition, les valeurs impaires dey donneront toujours dans ce polygone des valeurs impaires de e^ et les valeurs paires de / donneront des valeurs paires de e^.
On a identiquement :
,=,(ài±),.(i^)
Portons dans cette expression les valeurs de e^ données par le tracé du polygone, nous aurons comme précédemment
et p étant impair^ les valeurs de p^ ainsi déterminées auront, à la fois, môme parité que y et que e^.
Il en résulte que pour : j = l,2..;d (seules valeurs qui interviennent dans Tenroulement), les numéros d'ordre des sommets impairs du polygone, soit : e, £3.., s^, seront les valeurs :t\ t'^,.. e^ de l'enroulement et les numéros des sommets pairs soit : Ejê*.. £rf, seront les valeurs : E^'g e'V- e''d-^i de Tenroulemeht.
TABLEAUX GÉNÉRAUX DES BALAIS
Il nous reste à déterminer les valeurs :
et
de Tenroulement. '.
Or, les valeurs de e'y et de s'y qui correspondent à une même valeur d^ j dififerent entre elles, nous le savons, de d. On a donc :.
Considérons ceux des sommets du polygone dont les numéros d'ordre sont :
' ih + d) ■ ih + d) {sd + d)
d étant impair, ces numéros ont respectivement des parités opposées à celles des numéros d'ordre :
. erf
de sorte que :
(^i + rf) [H + d]
(sd + d) sont des nombres pairs. [td-\ + d) — — impairs. •
Les numéros d'ordre des sommets impairs :
{h H- d) (£4 + ûf), .. ("Sd-i + rf) sont donc les valeurs de
et les numéros d'ordre des sommets pairs :
(^1 + û?) (£3 + d) (srf + d), les valeurs de
d'où il résulte que :
Les numéros d ordre de tous les sommets impairs du polygone sont bien les valeurs de t'j et les numéros de tous les sommets pairs les valeurs ' de î!'j.
^ Remarque 2. — Contrairement à ce qui se produit lorsque y est impair, (§ 2 A, Rem. 2, p, 50) les balais de même signe ^ pris dans l'ordre naturel^ n'ont pas nécessairement même parité et pas conséquent les balais^ dans P ordre naturel^ peuvent n'être pas alternativement positifs et négatifs.
THEORIE DBS ENROULEMENTS
En effet, des deux balais correspondant à une même valeur de y, celui qui a même signe que le balai zéro (balai positif) et qui, par conséquent, occupe ta région p"^ suit ou précède celui de signe contraire (balai négatif), lequel occupe la région P'^ suivant que le numéro d'ordre de la région qu'il occupe est supérieur ou, inférieur au numéro d'ordre de la région occupée par Tautre balai, c'est-à-dire suivant que :
6'. < ^'J Lorsque e est positif (bav) cette /condition suppose :
lorsque s est négatif (eiUi) elle correspond aif contraire à :
Eti se reportant à la remarque précédente on voit aisément, qu en général, pour un même enroulement, e'^ est tantôt supérieur tantôt inférieur à e'^, de sorte que les balais positifs et négatifs n'alternent pas régulièrement.
Exemple.
Prenons un exemple, soit : e = 3 2d = lo
Le polygone! ^= "îTr est celui de la figure 8 A (p. 24) dans lequel 8 serait remplacé par e; les valeurs de e'^et de t''^ sont les suivantes :
et, par conséquent, l'ordre dans lequel se succèdent les balais est l'ordre ci-après» :'
TABLEAUX GÉNÉRAUX DES BALAIS 61
Remarque 3. — LorsijiL,e le pas de P enroulement est pair: le mobile y se déplaçant à l'intérieur de V enroulement, ne peut jamais^ rencontrer les balais^ dans V ordre naturel^ ni dans V ordre inverse^
En effet, à une valeur donnée de y, correspondent deux valeurs de i, différant entre elles de d. Les deux balais ; qui, par rapport à Ferisemble des balais, portent les numéros (2; — i) et 2/ se suivent sur le collecteur. Ces mêmes balais, dans Tordre où ils sont reQcontrés par le mobile, portent les numéros i et (i ±: ci). Or d étant impair, sa valeur minimum est trois (les enroulements série qui n'ont que deux balais en tout (d = 1) n'entrant pas en lignç de compte) et par conséquent les balais considérés ne sont rencontrés p^^ le mobile ni dans Tordre naturel, ni dans Tordre inverse.
Pas des balais. — Les balais positifs et négatifs se présentant séparément, lorsque y est pair, il n'est pas utile dans ce^ cas de rechercher les expressions des pas de Tensemble des balais, pas qui sont relativement complexes, ainsi que le montrent les exemples donnés plus loin où Ton trouvera :
Classe :
nombre des pas :
p — 6 rf — 9
Il est plus simple, pour établir lea tableaux généraux lorsque y est pair, d'appliquer directement U formule :
Les anomalies qui peuvent se présenter dans Tordre naturel des balais de même signe, lorsque p est inférieur à rf, seront examinées au chapitre suivant (| 5, p. 75 et 76).
B. — Applications. Exemples de tableaux généraux, y étant pair.
Dressons les tableau^ généraux, pour y pair, des classes d^éiiroulements déjà étudiées pour y impair et faisons-en l'application aux exemples donnés plus haut. [Exemples : 3, 4, 7, 8, il, 12]
Classe :
p = 6 d = 3 y pair.
BAV.
fe =
nj±sj
BAR
fo
LO
Les numéros d'ordre des régions neutres sont les chiffres de la colonne (Pj).
Exemple numérique.
BAV.
= 106 (Exemples 3 et 4, p. 26.)
BAR
fc-
Pi
TABLEAUX GÉNÉRAUX DES BALAIS
. ' Classe :
y pair.
BAV.
ft
BAR
fc =
i^j — ej
fe
=pl
rr2
ll^^S
6 JL =r:.4 V 2 -H*
