SI

es a.

B. — OommatationB anormales.

a) Balais dans la même région. — Nous avons remarqué (chap. III, I 2, A, p. 35) que si Ton plaçait côte à côte, dans une même région neutre, les d balais de même signe d'un enroule- .

ment de 2d circuits, ces balais mettaient en court-circuit, les p sections commutées groupées en série.

La Qgure 22 est le diagramme général de cette disposition.

Fig. 22. — Commutation anormale. Balais placés dans la même région.

Diagramme général.

{d balais commulent p sections groupées en série.)

b) Balais également répartis, — Nous avons vu aussi (chap. m, §2, B, p. 36) que lorsqu'on faisait usage de balais supplémentaires, de façon à placer le même nombre de balais dans toutes les régions, on obtenait la commutation individuelle de toutes les sections, mais on augmentait, en même temps, le nombre des sections mises en court-circuit, d'autant d'unités qu'il y avait de balais supplémentaires.

Dans les machines où p est supérieur à d, le nombre total des balais de même signe est alors p au lieu de d et le nombre des sections mises en court-circuit par ces balais est :

p + {p — d) = 2p — d au lieu de p.

Lorsque p est inférieur à d, si d est inférieur à 2p {p <Cd<C 2p), le nombre total des balais de même signe est 2p au lieu de rf; celui des sections en court-circuit est :

pH- (2p — d) = 3p — d au lieu de 79 et ainsi de suite. La figure 23 est le diagramme général de cette disposi-

tion, pour la classe /> = 6 d = ^ ^ à laquelle appartient

Tenroulement particulier, précédemment pris en exemple (figure 14, p. 37).

DIAORAMMES GÉNÉRAUX DES SECTIONS EN GOURT-GIRGUIT 8i

Comparons les sections en court-circuit, dans le cas de la

3y.« 3^-» fcy-2

5*^-3 Sy.«

Fig. 23. — Commutation anormale. Balais également. répartis.^

Classe :

Diagramipe général.

(Â) Diagramme circulaire. — (B) Diagramme rectiligne.

commutation normale et dans celui des balais également répartis. Dans le cas de la commutation normale on a :

Commutation normale.

Balais

Sections en courtcircuit

Balais

Les sections sont commutées par groupes de deux en série.

SzARVADY. — Théorie, des enroulements. ^ 6

82 THÉflmE DES ENROULEMENTS '

Dans le cas des balais également répartis on a :

Balais également répartis.

Balais

Sections en courtcircuit

Les sections sont toutea commutées individuellement. Les sections supplémentaires au nombre de trois sont :

Ainsi que le montre la figure, la durée du court-circuit des. sections supplémentaires et des sections :

qui sont commutées par les mêmes'balais est plu« grande que celle des autres sections :

La symétrie de la commutation est détruite

« 7"^ Formule de passage des balais d'un signe donné

aux balais de signe contraire

Il nous reste à montrer que l'on peut toujours obtenir les emplacements des balais négatif Sy en faisant tourner les balais positifs d'un certain angle ^ et à déterminer cet angle que nous évaluerons en nombre de lames du collecteur.

Les formules sont différentes suivant que y est pair ou impair.

A. — Formule de passage, dans le cas où y est impair.

Supposons d'abord y impair.

Nous savons que, dans ce cas, les balais positifs occupent, parmi tous les balais pris dans Tordre naturel, les rangs pairs et les bçilais négatifs, les rangs impairs (chap. vi, % 2, A. Remarque 2, p. ''50).

Considérons le balai négatif qui occupe, dans Tensemble des balais pris dans Tordre naturel, le rang :

Son emplacement : La^-i est déterminé par la double rela- ' tion : -

dans Ifiquelle : Pj^-. l'est un nombre impq,ir et t^k-i un nombre (pair ou impair) «n/^n'ewr à 2d. •

Faisons reculer le balai {2k — 1) d'un nombre de lames L23, - 1 défini par la double relation :

^^^-^^Y [P«x-iî^±(2^-i)]

dans laquelle X est un nombre entier arbitraire 9 inférieur ou . égal à d et Sj^i un nombre entier, inférieur à 2d, tel que ^2^^-! soit un nombre entier impair. Le signe de t^-i dans Texpression de ^2^-1 6st le même que celui de t^^i dans Texpre^sion de^Piit-i.

Apres son déplacement, le balai se trouvera^posé sur la lame, dont le numéro d'ordre L est déterminé par la relation :

I — T • T — 21(A: -» X) p ± (eafc- 1 — ea^ Q

Lx = Lîfc .1 ^ 1j2x - 1 = 2d y ^ (* — ^}

La étant nécessairement un nombre entier et y étant impair, (ssfc^i — hi-\) est un nombre. pair, et dansTexpression ci-dessus mise sous la forme :

Lx=: (k — l) pdtY (s2fc - 1 — 'e2x - 1)

y zp (/fc - A)

le terme : — [«2;^ t— £2-^-1] est un nombre entier inférieur à rf. Deux cas sont à distinguer, suivant que {k — X) est positif ou négatif.

Supposons d'abord : [k — X) > 0.

Considérons le balai positif occupant dans l'ensemble des

balais le rang 2{k — X)*et parmi les seuls balais positifs le

Son emplacement, déterminé par la formule des balais positifs^ a pour expression :

•W-,) = L;i.) = Pi'-,y:±(*->) avec g. ^ (k^\)p^4-^

e"fc «^ étant par définition he nombre entier inférieur à d donnant pour P"fc - ^ un nombre entier lequel peut être pair ou impair. Si (sîfc-, — £îx-i) est positif ou nul on a évidemment :

et dans ce caa le balai négatif considéré occupera, après son déplacement, l'emplacement : h^^J^ .. ^) == L'\j, __ ^^ du balai positif 2(A — X). '

Supposons ensuite : (k — X) < 0.

Transformons Texpression de h^ en ajoutant au second «membre, le nombre total N des lames du collecteur, ce qui ne modifie pas le numéro d'ordre de la lame envisagée.

Tenant compte de l'expression :

N = (pyq=d) = d [i>-J=Pl]

il vient : L, — ^ y ,^ {d + k -^l)

(d H- Â; — X ) est positif.

Considérons maintenant le balai positif 2{d -h k — 1). -Son emplacement est déterminé par la relation :

L^d + k-x) = Lw + *-i) = [fô + *-vy ±(d + k- X)]."

avec • S" - (d + ft-X)p±e;;^,, avec . Pd^k-x j

e"rf + jfc x iStant le nombre inférieur à d qui donne pour ?"d+jt-x un nombre entier.

Si (ssfc-i — %-i) est positif ou nul on ^ura :

-^[su-i — £2îi- ï] = Sd + A Z et l'a; = L^ ^ ;fc; = Laid + fc-x).

Le balai négatif (2A — 1) occupera cette fois l'emplacement du balai positif 2{d^ k'—X).

DIAGnA.lHllES GËNâRAUX DBS SECTIONS EN COURT-CIRCUIT 3S

> Par conséquent quand on fait reculer les balais négatifs d'un nombre de lames Li,i défini comme il est dit ci-dessus, tous ceux de ces balais qui satisfont à la condition: E^A-i^e^-, occupent, aprës leur déplacement, les emplacements de balais positifs.

. Pour que tous les balais négatifs, sans exception, occupent ainsi les emplacements de balais positifs, il suffît de choisir pour le nombre arbitraire i. celui pour lequel Sj. , aura la plus petite des valeurs que prend em-i quand on donne à k les valeurs 1.2...rf.

Déterminons cette valeur,

Soït e le nonibre inférieur à %d donnant un nombre impair pour ;

Si ce nombre est nul, soit :

toutes les valeurs de t^, , étant nulles, on aura :

Si), ^ , — 0. ■ ■

Si le nombre e est dififérent de zéro soit :

nous savons (d'après la remarque! du cliap. vi, |3, A, p. 49) que les différentes valeurs de En , aontlesnumérosd'ordre des sommets impairs du polygone | -^1 .

Soit a le plus grand commun diviseur de t et de 2rf, le nombre des côtés du polygone est — .

Si ( — J fest impair, le nombre des côtés du polygone étant impair, le dernier cdté du polygone, celui qui aboutit au. sommet 2doM zéro, sera un côté impair; la plus petite valeur de 5ai 1 sera donc zéro et l'on aura encore dans ce cas

Si ( — I estpajV, le numéro d'ordre le plus faible, des sommets auxquels aboutissent les côtés impairs, est a, de sorte que dans ce cas : *

86 THEORIE DBS ENBODLEHBNTS

En conséquence lorsque y est impAin, on obtientles emplacements de tous les balais positifs en faisant RECULER '/'ensemA/c des balais négatifs, et inversement, on obtient les emplacements de tous les balais négatifs en faisant avancer i' ensemble des .balais positifs, d'un nombre de lames L,..,, déterminé par la double relation :

les symboles, figurant dans ces deux relations, étant définis comme suit : •

)> est un nombre entier, donnant pour pj),un nombre entier

IMPAIR (on prendra le plus petit).

6jj i dépend de & (nombre entier inférieur à 2rf donnant pour P =^, " un nombre entier impair).

Lorsque i j — o on a : «ai i = o Lorsque : ^ < "• i^ étant le plus grand commun diviseur de £ et de 2d).

SI — est impair on a : sî» - 1 —

■ id , ■

SI — est pair on a : en. - 1 = "-

Lorsque p est un multiple de d (commutation symétrique). si (-j-jest impair, '

et par conséquent:

si l-^J est pair, '

On a':

e = d es^|=rf Xi=l

f-.=fe=")

B. — Formule de passage dans le cas où y est paît. ,

Lorsque y est païr :

Chaque valeur de j détermine, à la fois, un balai positif et un balai négatif dont Tun est pair l'autre impair^ le balai pair pouvant, suivant les cas, être le balai positif ou le balai négatif (chap. VI, I 3, Rem. 2, p' 59).

Considérons le balai négatif occupant, parmi les balais négatifs, le rang : 1^

Son emplacement : L'/t est déterminé par la double relation :

dans laquelle e'^ est le nombre impair inférieur à 2d, donnant pour ^\ un nombre entier (impair) .

Faisons reculer ce balai d'un nombre de lames : h\ défini par la double relation : '

l; = i- [piy ZF 2)]

dans laquelle X est un nombre entier arbitraire inférieur à d et e\ le nombre impair inférieur, à 2d et de même signe que e'^, donnant pour p\ un nombre entier (impair)..

Après son déplacement, le balai se trouvera sur la lame :

^Jg

sSv- !»•***•***%" ^. J.

THÉORIE DES BNROULBHENTS

e\ et e'i étant tous deux impairs leur différence est u

pair et dans l'expression :

le terme : ^ {t\ — £'>.) est un nombre entier inférieur à d.

En substituant simplement les symboles e'^ets'i. aux' symboles Sjt t et e„i dans le raisonnement fait pour y impair, on voit immédiatement que tous les balais négatifs occuperont des emplacements de balais positifs, si on choisit pour / )e nombre auquel correspond, pour s'i, la plus petite des valeurs de s'j.

Toutes les valeurs de t\ étant impaires nous savons déjà que i'\ ne peut être nul ; et nous savons en outre (d'après la remarque i duchap. VI, § 3, À, p. 58) que les valeurs de e';t sont les numéros d'^ordre des sommets impairs du polygone I -^ I ^ étant le nombre impair inférieur à 2d qui donne pour p = " un nombre entier (forcément impair).

Le plus faible de ces numéros d'ordre impairs est évidemment le plus grand commun diviseur a de c et de 2d, on aura donc toujours :

Par conséquent lorsque y est pair, oh obtient les emplacements des balais positifs en faisant RECULER l'ensemble des balais négatifs et inversement on obtient les emplacements des balais négatifs en faisant avancer les BALAIS posiTCFB d'un nombre de lames L\ déterminé par la double relation : ,