DES

Sur les expressions imaginaires.

1. Si l’on désigne par à l’expression imaginaire W—1, la forme générale d’une quantité imaginaire ou d’un nombre

complexe sera a + bi,

où a et b sont réels. Si l’on pose (1) = Te0S0: DES

on aura

(2) a + bi = r(cosû +isin6) el

nes b Fo) r= ya?+ b?, tang 0 — sa

r est le module, il est essentiellement positif; 0 est l’argument, (3) donne pour © deux valeurs, mais (1) montre que cos à le signe de a et sin? celui de b, et, comme ces signes déterminent le quadrant où se termine 0, l'arc compris entre

o et 2x, dont la tangente est tang@, se trouve bien déter- A I

miné. En réalité, 0 possède une infinité de valeurs posi-

tives ou négatives différant entre elles de 2pr, où p désigne

un entier arbitraire positif ou négatif. Dans la suite, il sera

sous-entendu que l’on peut toujours ajouter à l'argument ce

nombre 2p7. On représente encore, pour abréger, la quantité

qui a pour module r et pour argument 6 par la notation r,. Exemples :

— 1 —= 17; AR Ce VV Den. ml VD dr 2 TE Cas

2, L’'imaginaire a + bé peut être représentée par un point.

Soient O ( /ig. 1) une origine et OX un axe orienté; un point A

Fig. 1.

À re ES à TT « O A X

est déterminé quand on donne le rayon vecteur r et l’angle 8 qu'il fait avec l’axe OX; on peut représenter ce point par la notation 75; on voit que les quantités réelles sont représentées par les points de l’axe OX. On voit aussi que r représente en quelque sorte la valeur numérique de 76, et que le facteur cosÿ + t sin0 en détermine la direction, il joue le rôle d’un signe directif. Les signes + et — désignent deux directions opposées sur l’axe OX, de même £ et — c représentent les deux directions opposées perpendiculaires à OX. Nous allons montrer comment, en généralisant la notion d’addition, on peut déduire de ces directions toutes les autres.

Au lieu de dire que l'imaginaire 7, représente Je point À, on peut dire que le rayon orienté OA est représenté par r«.

Les deux imaginaires a + bi, a — bi sont dites conjuguées; elles ont même module, leurs arguments sont égaux et de signes contraires, les points qu’elles représentent sont symétriques par rapport à l’axe OX.

3. Calcul des imaginaires.— Nous allons maintenant généraliser la notion d’addition, de manière à obtenir pour les imaginaires un calcul analogue à celui des quantités réelles. Soit donnée la formule

(A ba Cat bit) — a tai + (0 hr:

les points qui représentent les parties de la somme ont respectivement pour coordonnées a, b et a;, b,, celui qui représente la somme, a pour coordonnées «a + a, et b + b,. Ces trois points et l’origine des coordonnées sont les sommets d'un parallélogramme dont les côtés sont r et r,, les directions de ces côtés sont déterminées par les angles 6 et 0,. L'’addition se ramène donc à la recherche de la résultante de deux droites ayant pour longueurs les modules et pour directions les arguments des quantités à ajouter, et l’on voit l'interprétation géométrique de ce fait qu'une somme ne change pas quand on intervertit l’ordre de ses parties.

Lorsque la somme de plusieurs imaginaires est nulle, après avoir composé les droites qui représentent les parties, on revient à l’origine et la figure se réduit à un polygone fermé : on peut donc dire que la somme des côtés d’un polygone fermé est nulle, si l’on sous-entend que chaque côté représente une imaginaire, et qu’il est déterminé en grandeur et en direction, ce qui détermine le sens dans lequel le polygone doit être parcouru. On peut dire aussi que le point final représente la même imaginaire quel que soit le chemin parcouru. Ainsi la formule (2) montre que l’on arrive au même point, soit en parcourant le rayon 7 dans la direction 6, soit en parcourant & dans la direction +71 et b dans la direction £. Il résulte des considérations précédentes que le module d’une somme est moindre que la somme des modules de ses parties, pourvu que les parties n’aient pas toutes le même argument. Dans ce dernier cas, en effet, le module de la somme serait égal à la somme des modules de ces parties.

La soustraction revient à une addition avec changement de signe de la partie à soustraire.

La notion de multiplication résulte de la considération de la formule r(cos0 + :sin0) r,;(cos0; +csin0:) = r.r[cos(0 +0,)+zsin(0 +0;)]

(4) TG 19, = (rr1)p4 0

On voit que le module d’un produit est égal au produit des modules de ses facteurs, et que son argument est égal à la somme des arguments des facteurs.

La multiplication par un facteur revient ainsi à une multiplication par le module de ce facteur (dans le sens ordinaire

du mot multiplication), suivie d’une rotation égale à l’argument de ce facteur. Soient À et À, ( /ig. 2) les points qui re-

présentent les facteurs, B le point qui représente l’unité +17, et P celui qui représente le produit; on voit facilement que le triangle OBA est semblable à OA, P.

Ainsi le triangle, formé par l’unité et l’un des facteurs, est semblable au triangle formé par l’autre facteur et le produit. Le produit est formé avec le multiplicande comme le multiplicateur est formé avec l’unité.

L’échange des points A et À, fournirait encore des triangles semblables; c’est l'interprétation géométrique du théorème relatif à la possibilité de l’interversion des facteurs.

Exemple :

(—1)(—2)= 17.27 = 22n = 2, P—Irir=Ir=—I.

La division se ramène à la multiplication. Quant à l’élévation aux puissances et à l'extraction des racines, elles donnent lieu aux formules (7 étant un entier positif)

(ro) = rn0, 5 LE ar 7è G) Re (W7 )6.

Dans le second membre de la dernière formule, on doit supposer à 0 des valeurs de la forme 9+ 2pr, et des valeurs différentes de p pourront fournir des solutions différentes.

Dans la suite, on fera usage d’exposants fractionnaires, lorsqu'on suppose toutes ses valeurs à une racine, au contraire, on fera usage du signe radical, lorsque l’on voudra représenter une valeur bien déterminée; ainsi on aura

(6) Hire (Vr )apr+0,

où p doit recevoir les valeurs o, 1, 2, ..., (n—1). p=n donne le même résultat que p=0; p—n+ ax donne le même résultat que p — «. Ainsi le nombre des valeurs réellement distinctes de (6) est 2; et, comme leurs directions partagent l’espace en x parties égales déterminées par les directions

0 ) Ar 0 2T

— 9 — + — CHCTON: — (2 —1) —;) It 72 10 Iè He

(r,)° aura au plus deux valeurs réelles données par les for-

mules ST HE 0 2pT + 0 n : n

Te

Dans le premier cas, on a 0 — 0, p —0; dans le second cas, on a Ü—0 et2p=n ou 0—#r et 2p+1—n. Sir, est imaginaire, ses racines sont imaginaires; s’il est positif, une racine sera positive, l’autre négative si » est pair; une seule racine sera positive, si 2 est impair.

Enfin, si 7, est négatif, une racine sera négative si x est impair, et toutes les racines seront imaginaires si » est pair.

En combinant les résultats précédents, on obtient des théorèmes analogues au sujet des exposants négatifs et fractionnaires

Si la fraction : peut être réduite à une plus simple expres- S

sion, l’expression de (ra) peut se simplifier également.

Exemple I :

le

RD 2 te) ; FEAT, 0 — =T; 2 we) les trois valeurs de cette expression sont Cos40° + 1 sin40°, Cos 160° + z sin 160°, cos 280° + z sin 280°.

Exemple IT :

(—8), r=8 Vr=s2, Ô—xr;

les valeurs de (— 8) sont

2% 2x Ct 25% OU 1-1 V3 0 2 OL 7 08 3 è

Nous allons maintenant appliquer la théorie précédente à des considérations géométriques.

On sait que l’expression

Lo — Li É DE nt” 17 L3— La 4 Li T3

. . I I reste invariable quand on remplace æ,, æ2, æ3, æ, par ar TT

1 I L Fr . . . V4 L4 ETES Supposons les quantités x imaginaires et représentées 3 L

par les points À,, À, A;, A, (/ig.3). Alors x,—x, sera représenté en grandeur et en direction par A, A,. Si l’on parcourt les seg-

ments analogues dans l’ordre A;, A,, A3, À,; si l’on désigne leurs modules par 7, r,, rs, r,, et leurs directions par de

7 ni? à NS

grandes lettres, X désignant la direction des quantités positives, on aura

He RE V1 (RRE):

Le rapport considéré devient alors PA (NB) OA CXR: }t ra(XR2) rs (XR3)7

il a pour module rir3

Tor,

et pour argument (XR:) + (ReX) + (R,X) + (XR3) = (R2R1) + (R Rs).

Ainsi le module de notre expression est le rapport des produits des côtés opposés du quadrilatère A, A,A,A,, et l’argument de cette expression est la somme des angles opposés (et extérieurs); ces grandeurs restent inaltérées après la

. . . à I transformation, qui consiste à remplacer x par = ou ry par

(:) p° si — 6 se change en 6, le point correspondantse change en son symétrique par rapport à l’axe des quantités positives;

cela revient à changer la direction dans laquelle on compte

les angles positifs; on obtient alors G), Notre proposition

changeons — 8 en 6, de telle sorte que le produit des distances des deux points correspondant à l’origine soit égal à un. Les deux points en question sont alors éransformés l’un de l’autre par rayons vecteurs réciproques. Nous venons donc de démontrer par l’Algèbre que, par une transformation par rayons vecteurs réciproques des sommets d’un quadrilatère, on n’altère pas le rapport des produits des côtés opposés pendant que la somme des angles opposés change son signe. Il est d’ailleurs indifférent que le quadrilatère soit concave ou convexe.

; Me J ; a donc encore lieu si l’on remplace r9 par ( )y et Si nous

Fonctions rationnelles entières.

k. Etant donnée la fonction entière (1) f(z) = ÂApzm+ Ajzm-1 4, , + À, 3,

‘ on peut toujours choisir le module 7 de 3 assez petit pour que le module de f(z) devienne et reste plus petit qu’une quantité donnée KR.

En effet, soit a le plus grand module des coefficients de

f(z), on aura

€ p — pmnm+l mod f(z) <a(rnm+rm1+,. +7) ou Sn: are — FF

BL SI re uI

mod f(z) <

ar Te de

et f/(z) aura un module inférieur à KR, si l’on prend

Il résulte de là que, dans la fonction z2+ P,

où P désigne une fonction entière dans laquelle les exposants de z sont supérieurs à =, on peut choisir le module

Er. n Ô de 3 assez petit pour que mod — puisse être rendu plus petit

qu'une quantité donnée; si l’on change 3 en -; on voit, par

suite, que l’on peut prendre le module de 3 assez grand pour que

zn

mod FT

puisse surpasser toute quantité donnée, P désignant un polynome dans lequel tous les exposants de 3 sont inférieurs à ».

5. Une fonction entière et rationnelle de z est continue (1).

Jf(s) est continue si, z étant quelconque, on peut prendre mod, tel que pour toutes les valeurs de À du module moindre ou égal, le module de la différence

JCs+ 0h) —Jf()

devienne moindre qu’une quantité donnée si petite que l’on veut.

Cette différence, développée par la formule de Taylor,

donne l2 Jim

terre + f"(3) Er ee + fn(2) LEURS à

et celte expression, comme on vient de le voir, peut être rendue aussi petite que l’on veut en choisissant mod convenablement.

Il résulte de là que, si f(z) est à coefficients réels, et si cette fonction prend des valeurs de signes contraires pour deux valeurs de z, elle doit s’annuler pour une certaine valeur de z comprise entre celles-ci.

6. Une fonction entière réelle de deux variables réelles x et y né peut changer de signe quand x et y varient d’une manière continue sans passer par zéro.

Dans le cas contraire, la fonction en un certain point devrait passer brusquement d’une valeur positive à une valeur

(*) Cela résulte aussi de ce qu’une pareille fonction a une dérivée bien déterminée pour chaque valeur de la variable.

négative ou inversement, de telle sorte que fx+hr+k)—f(x,r)

ne pourrait pas devenir moindre qu’une quantité donnée pour des valeurs suffisamment petites de k et Æ; cela est impossible, car cette différence peut s’écrire

JC + y +R) —f(z+k, 7) + fe +7) — fa, 7),

et il résulte de ce que nous avons dit plus haut que chacune des deux différences dont se compose l'expression précédente peut être rendue aussi petite que l’on veut, la première en prenant #, la seconde en prenant À suffisamment petit.

La courbe dont l'équation est

partage le plan en régions finies ou infinies; si l’on considère deux points, si l’on substitue les valeurs de leurs coordonnées dans f(x, 7), et si l’on obtient des résultats de signes contraires, on ne pourra passer d’une manière continue de l’un à l’autre sans traverser la courbe. Les régions du plan seront regardées comme positives ou négatives par rapport à la courbe, suivant que les coordonnées des points de ces régions substitués à la place de æ et y rendront f(x, y) positif ou négatif. Pour passer d’une région positive à une région négative, il faut traverser la courbe un nombre impair de fois; pour passer d’une région positive à une région positive, il faut la traverser un nombre pair de fois. Si l’on traverse un point où se coupent deux branches de courbe, il faut compter le passage par un tel point comme un double passage.

Comme on peut supposer f(x, y) écrit avec un signe quelconque, le signe d’une région est arbitraire, mais on peut convenir d'écrire f(x, y) de telle sorte que le terme qui ne contient ni æ ni y soit positif. De cette façon, l’origine sera dans la région positive et les signes des autres régions seront déterminés. of

7. Si l’on considère deux courbes À —=0o et B—=o, leur ensemble partagera le plan en régions où le produit AB sera ou positif ou négatif, suivant que À et B y auront le même signe ou des signes contraires. Considérons un point d’intersection des deux courbes ( 3. 4), et décrivons autour de ce

point une petite courbe fermée; son périmètre sera partagé par les branches des courbes À — 0, B — o en quatre parties. Parcourons la petite courbe et déterminons en chacun de ses points la valeur de AB ; toutes les fois que AB s’annule, son signe change et l’on franchit une branche du nœud. Appelons les portions de la petite courbe, parties positives ou négatives suivant que sur ces parties AB est positif ou négatif; deux parties opposées seront positives, les deux autres seront négatives; chaque fois que l’on traverse une branche du nœud, on passe d’une partie positive à une partie négative ou inversement. Si l’on effectue le parcours dans un sens déterminé, on rencontre deux espèces de points d’intersection : ceux où, en traversant la courbe A, on passe du positif au négatif; ceux où, en traversant la courbe A, on passe du négatif au positif. On trouve un exemple de ces points dans l'intersection de deux cercles.

Si, pour chaque point d’intersection des courbes A et B, on fait la différence du nombre de fois où, dans un parcours autour de ces points dans le sens positif, on traverse la courbe A en passant du positif au négatif, et où on la traverse en passant du négatif au positif, on trouve + 2 pour certains points et — 2 pour d’autres, les uns seront appelés de première espèce, les autres seront de seconde espèce. Si l’on ajoute toutes ces différences, on obtient un nombre qui est le double de la

no CHAPITRE I.

différence À entre les nombres de points de la première et de la seconde espèce. Ce nombre est celui que l’on trouverait si l’on parcourait une courbe fermée renfermant, dans son intérieur, tous les points d’intersection des courbes A et B. En effet, en déformant une pareille courbe, l’ordre dans lequel elle rencontre À et B ne peutse modifier qu’en passant par un point d’intersection de À et B, et en quittant un pointoüelle touche A ou B. Elle gagne où elle perd alors deux points d’intersection avec ces courbes (3. 5). Ces derniers points n’ont

pas d'influence sur la valeur de la différence considérée, car ils se suivent immédiatement; si ce sont des intersections avec B, ils ne comptent pas; si ce sont des intersections avec À, ils ne changent pas la différence, parce que, une fois, on passe du négatif au positif, et une autre fois du positif au négatif.

Puisque deux semblables points, pris simultanément, n’ont pas d'influence sur les autres points d’intersection, ils ne peuvent modifier la différence A dont nous nous occupons. Celleci ne peut donc changer que quand on passe par un point d’intersection de A et B.

Considérons une petite courbe fermée ( /ig. 6), ne coupant

Fig. 6.

ni À et B, et pour laquelle la différencæ A est nulle; agrandissons cette courbe jusqu’à ce qu’elle touche une des petites

courbes décrites autour d’un point d’intersection de A et B, et, à ce moment, adjoignons-lui cette petite courbe; la différence croîtra de +2 ou —2, suivant que l’intersection sera de première ou de seconde espèce; on peut donc énoncer le théorème suivant :

Étant données deux courbes À, B, si l’on parcourt une courbe fermée dans un sens déterminé, la différence du nombre des points de première et de seconde espèce contenus à l’intérieur de cette courbe est la moitié de la différence du nombre de fois que l’on passe du positif au négatif et du nombre de Jois que l’on passe du négatif au positif, en traversant la courbe À.

S'il n’y à que des points d’une seule espèce, on peut déterminer ainsi le nombre des points réels d’intersection des courbes À et B contenus dans un contour fermé. Le théorème, du reste, est vrai quelque rapprochés que soient les points d’intersection, et, si plusieurs sont confondus, il a encore lieu en comptant chaque point autant de fois qu’il renferme d’intersections confondues.

Nombre des racines d'une équation.

8. Considérons une équation du degré x (1) fs) = Aoz+ Ayzti+...+ A, =o, à coefficients réels ou imaginaires; posons 3=X+Yi,

æ et y désignant des nombres réels; en séparant les parties réelles et imaginaires, on à

(2) DOEEr:) — À CDr,

A et B désignant des fonctions réelles de x et y; la condition nécessaire et suffisante pour que x + yésoit racine de l’équa-

tion (1) est que l’on ait (9) AD; D-10;

les racines seront donc représentées par les points d’intersection réels des courbes À et B : nous les appellerons points racines (1).

Maintenant appliquons à ces courbes le théorème démontré tout à l’heure. A cet effet, décrivons un cercle assez grand pour contenir toutes les intersections des courbes À et B, si elles se coupent; divisons l’équation (1) par A,, elle prendra Ja forme (4) ZU a, Ti. 0;

et, en posant s—x+ yi—r(cos0 +isin0),

(53) À = rc0o8n0 + ar—1cos[(n —1)8+v|+...=0,

(6) B= 72 sin20 + arn-1 sin[(n —1)9+v]+...=0o,

on peut prendre le rayon r du cercle assez grand, pour que les premiers termes de (5) et (6) donnent, avec une approximation aussi grande que l’on veut, les points d’intersection des courbes avec le cercle; on a alors

Cos20 — 0, sin 0 = 0, d’où pe PERD ER r pa

(*) Les courbes À et B ne sont pas quelconques, elles dépendent l’une de l’autre; on a en effet, en différentiant,

, RAR ODe SCPI EÉ 1; pe LC PR) RAT En re

d’où l’on tire 0B OA OA __0B

dx dy 0x 0

Les points d'intersection avec le cercle des courbes A et B, à mesure que le rayon du cercle croît, tendent donc à partager la circonférence en 4n parties égales, et ces points se suivent alternativement; la différence A, considérée plus haut, du nombre des points de première et de seconde espèce est donc 2n, il y à donc au moins » points d’intersection contenus dans le cercle. Donc

Une équation de degré n a au moins n racines.

JSHarésbune racine de.f(z)—0,letpolynome f{(z)est divistble par 3 — «;.

En effet, on peut poser J(&)={—-m)Q+R,

Q désignant une fonction entière, et R un nombre indépendant de z. Cette identité doit avoir lieu pour 3 — «,, et l’on a