RE
car R ne contient pas z, et il ne change pas en remplaçant z par œ.
Soit « une autre racine de l’équation, elle doit annuler (3 — «,)Q et par suite Q, donc
Q = (z— %42)Q:, donc
fG)=(z—%)(z—a)Q,
et ainsi de suite.
Inversement, on voit facilement que & est racine de f(z:)=0 quand (3— x) divise f(3). À chaque racine de ÿ (3) correspond donc un facteur de f(z) de la forme 3 — «, et réciproquement. Comme un polynome du degré n ne peut avoir plus de z facteurs du premier degré, une équation de degré » ne saurait avoir plus de » racines. £n combinant ce résultat
avec le n° 8, on voit qu'une équation de degré n a n ra- CITE EN Si l’on appelle &;, &, ..., &, Ces racines, on à
(7) f(z) = Ao(z— 1) x)... (5 —0»),
où À, est le coeflicient de z” dans f(:).
10. On a supposé, dans la démonstration du théorème précédent, que les points d’intersection de À et B étaient simples, c’est-à-dire tels qu’une petite courbe tracée autour de chacun d’eux ne rencontrait chacune des courbes A, B que deux fois seulement. Si cela n’avait pas lieu, on ne trouverait n racines qu’en comptant chaque semblable point pour autant de fois qu'il y a de doubles passages du signe + au signe —. Nous allons revenir sur ce cas.
Prenons pour origine un point racine z —a@; = —0o doit satisfaire à l'équation, elle a donc la forme
(8) ayz + by,32+...=0,
et l’on a
(9) À = ar Cos(0 + 0) + br? cos(20 + v;) +...— 0, (10) B—arsin(0 +v0)+br2sin(20+0)+.,..—0;
(*) On voit que les points racines doivent être des points de même espèce, de sorte que le théorème énoncé plus haut peut servir à déterminer le nombre des racines contenues dans un contour donné (théorème de Cauchy); on peut montrer que les deux espèces de points d’intersection pour les courbes A et B sont tels qu’il faut traverser Ja courbe
A 0B DA 0B dx dr Ôy Sr
un nombre impair de fois pour aller d’un point d'une espèce à un point de l’autre espèce. Cette courbe n’a pas de branche réelle, car à l’aide des équations
de la note de la page 14, le premier membre de son équation se change en une somme de deux carrés.
pour une petite valeur de 7, on n’a besoin de considérer que les premiers termes. Tant que «a n’est pas nul, chacune des courbes À et B ne coupe le petit cercle de rayon 7 qu’en deux points déterminés par les équations
Cos(0 + v) — 0, sin(0 + vd) = 0,
et l’on a affaire à un point d’intersection ordinaire. Si, au contraire, a — 0, les points d’intersection du cercle avec A et B seront donnés par
cos(20+v;)=0 et Sin(20 + 0) — 0,
d’où il suit que chaque courbe possède en ce point un point double, et le petit cercle les coupe en 8 points, chaque équation donnant 4 valeurs pour 0. Un pareil point augmente la différence À de Æ 4 et compte pour deux points racines. En général, un point devra compter pour p points si l’équation a pour premier terme un terme en z? ou quand son premier membre est divisible par z?; dans ce cas f(z) est divisible par (z— a)? et le théorème que nous avons démontré n’est vrai que si, f(z) étant divisible par (3 — x)?,on compte la racine « comme équivalant à p racines. On dit alors que l’équation a p racines égales à «, ou que «x est une racine multiple d'ordre p.
11. Deuxième démonstration de ce théorème que toute équation de degré n a n racines (démonstration d’Argand, aussi appelée démonstration de Cauchy).
Il suffit de démontrer que toute équation a une racine, car on peut écarter cette racine par la division du premier membre de l’équation par un facteur du premier degré, on a alors une équation de degré moindre qui admet une racine, et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on arrive à une équation du premier degré qui à une seule racine; on a ainsi déterminé successivement x racines dans le cas où l’équation est de degré 7.
DE
Pour établir que l'équation J(z) = 0
a au moins une racine, nous chercherons à la vérifier pour une valeur
20 = lp.
Si 3, satisfait à l'équation, ce sera, une racine, sinon f(z) prendra pour :—=%, une valeur Z, de module R; mais on peut montrer que, en modifiant légèrement r et ©, on peut faire acquérir à /(z) un module inférieur à R, si R n’est pas nul. Si l’on remplace 3, par + L où
l = Pw; on à
: | lp É Ap+1 J(z0+ 4) io) AE sfr Sera rest AO,
où p peut être 51, plusieurs dérivées pouvant être nulles. On a alors (so + he) J(20) B étant divisible par une puissance de p supérieure à p, en posant
=1+ C,p?[cos(pw +a,)+isin(pw + a,)] + B,
fP (20) : se pl f(&0) = CL(COSah + à SINnxp).
Si l’on choisit w de telle sorte que po +x,;—=T,ona COS(PW + ap) =—1, sin(pPw +4») —=0 et | Co + A)
————— =1—-C,oP+B J(2) A 7
où B, est la valeur que prend B pour la valeur assignée à w.
Le terme — C, p? est négatif et, pour de petites valeurs nu-
mériques de p, supérieur au module de B, : on peut donc
prendre w et p tels que
mod <1i où mod f(z0+ 2) < mod f(2).
Le minimum de R est donc zéro et le théorème est démontré.
On pourrait cependant objecter que R, en décroissant, pourrait tendre vers une limite différente de zéro sans l’atteindre; mais, si l’on considère les valeurs de R correspondant aux valeurs finies de 3, il y en aura une qui sera minima; mais cela est impossible, comme on l’a vu, si cette valeur minima n’est pas nulle. Il reste donc à montrer que = ne croît pas indéfiniment quand R tend vers zéro. Or, cela n'a évidemment pas lieu puisque /(:) croît indéfiniment avec 3.
Racines conjuguées des équations à coefficients réels.
12. Sci la quantité imaginaire a + bi est racine d’une équation à coefficients réels, a — bi est également racine de cette équation.
En effet, on a, en désignant par f(3) un polynome entier et par a + bc une racine de f(z) — 0,
fG)=[z—(a+bi)]Q,
Q désignant un polynome entier. Comme f(3) ne contient pas &, & doit disparaître du second membre après que l’on y aura effectué la multiplication, ce qui ne peut avoir lieu que si les exposants de £ sont tous pairs, et alors son expression ne doit pas changer quand on remplace & par — 7; il en résulte que
J(z)=[s—(a—bi)]Qn,
où Q, est entier et ne diffère de Q que par le changement de ten — 1; on voit donc que f(:) est divisible par z — (a — bi) ou que a — bt est également racine de f(:) = 0.
Les racines imaginaires d’une équation à coefficients réels sont donc en nombre pair et les facteurs imaginaires du premier degré d’un polynome entier à coefficients réels sont, par suite, également en nombre pair.
En groupant deux facteurs imaginaires conjugués, on ob-
tient le facteur réel (z— a}? + b?,
On voit donc qu’un polynome entier à coefficients réels peut se décomposer en facteurs réels du premier et du second degré.
Détermination de la racine commune à deux équations.
13. Si les deux équations f(z) —0 et F(z) —0o ont les racines communes à, b, c, ..., f(z) et F(z) auront le facteur commun (3—a)(z3—b)(z3—c)... et vice versa. Comme on peut toujours obtenir, par des méthodes connues, le facteur commun à deux polynomes, on pourra tou- Jours trouver une équation ayant pour racines les racines communes à deux équations données. Des équations ayant des racines communes pourront donc toujours être remplacées par d’autres de degré moins élevé. Si, par exemple, o(z) est le plus grand commun diviseur de f(z) et F(z), l'équation (3) — 0 aura pour racines les racines communes à f/(z) — 0 et F(z) —0o. Les autres racines de ces équations satisferont aux équations
JG) 4 F(z) ?(2) p(z)
Si les équations données avaient des racines multiples communes, o6(z) —0o admettrait ces racines avec leur plus petit degré de multiplicité. Si, par exemple, f(3) est divisible par (3— x}? et F(z) par (3—ax)+4, o(z) l’est par (3— x)?, F(3):0(2) et o(z) auront donc encore des racines communes et leur degré pourra être encore abaissé, etc.
Une équation f(3) —o à coefficients numériques rationnels est dite irréductible quand f(3) ne peut pas se décomposer en facteurs à coefficients rationnels. Cette notion peut être généralisée; si l’on regarde certains nombres irrationnels comme donnés, adjoints, comme l’on dit, on peut les
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. ai
considérer comme rationnels. L’équation 3? — 3 —o est alors irréductible dans le sens primitif du mot, mais elle devient réductible après l’adjonction du radical ÿ3 : le domaine de rationalité ordinaire est alors étendu, comme l’on dit, à V3.
Si les coefficients contiennent des irrationnelles, il faut les considérer comme adjoints.
Si les coefficients contiennent des lettres, on doit les considérer comme des quantités rationnelles. Des fonctions irrationnelles de lettres peuvent être adjointes. Ordinairement, quand les coefficients contiennent des lettres, on adjoint toutes les irrationnelles numériques.
Comme (3) est rationnel quand f(2) et F(z) le sont euxmêmes, on voit que deux équations sont réductibles, quand elles ont des racines communes; cependant il pourra arriver que f(:) divise F(z) et que o(z) = f(3); dans ce cas f(3) —0 pourrait être irréductible.
Il résulte de là que, quand une équation admet une racine d’une équation irréductible, elle les admet toutes.
Condition pour que deux équations aient des racines communes.
1%. Proposons-nous de trouver la condition nécessaire et suffisante que doivent remplir les coefficients de deux équations, pour qu'elles aient des racines communes.
Soient les équations
(1) f(3) = SN + az 1 + az 2 +. ..+ An = 0, (3)
(2) Ji
Si ces deux équations ont une racine commune, f(z) et f1(z) ont un diviseur commun; si l’on cherche le plus grand commun diviseur de f(z) et /,(z), on finit par trouver un reste qui n’est fonction que des coefficients des deux équations; soit V ce reste, d’où l’on a éliminé les facteurs introduits pour faciliter la division s’il y a lieu.
= Zn + b\z"- l + bazm—2 Ain vins Dm 0e
sera la condition nécessaire et suffisante pour que nos équations aient une solution commune, le reste qui précède a la
forme V: Z —+ Va ;
s’il est identiquement nul, les polynomes f et f, ont un facteur commun du deuxième degré, et les équations proposées ont deux racines communes; la condition pour que les équations en question aient deux racines communes est donc
(4) V0 Vs —,0,
et ainsi de suite.
15. Lagrange a mis ces équations de condition sous une forme différente. Supposons un des coefficients des équations a variable, les autres restant constants; quand a varie d’une manière continue, on peut admettre que les racines varient également d’une manière continue (1); demandonsnous quel accroissement À il faut donner à « pour que l’équation (1), dans sa nouvelle forme, ait une racine commune avec (2). Si dans V on change «a en a + À, cette expression devient
av d'V A2
Si la quantité a est déterminée de telle sorte que les équations (1), (2) aient une racine commune, on à V — 0; si, pour a + À, on a encore une racine commune, on à, en outre, V,= 0 l'accroissement À est alors donné par la formule
a; NV 2 BV 7/3
+ + —— da da? 1.2 da 1.2.3
Si l’on remplace dans (1) z par toutes les racines de (2), a reçoit, pour chacune d’elles, une valeur correspondante qui satisfait à (1), et à chacune de ces valeurs de a correspond,
(:) Cela résulte de l'existence des dérivées des fonctions implicites.
dans (6), une valeur de 2. Ces m valeurs de À correspondent chacune à une racine de (2). D'un autre côté, deux équations (1), qui correspondent à des valeurs distinctes de a, ne peuvent avoir de racines communes (excepté si 3 —0, Cas que l’on peut laisser de côté). Si alors, pour une valeur de a, q racines de l’équation (2) satisfont à (1), g des racines de (6) doivent être nulles. Donc la condition nécessaire et suffisante pour que q racines de (2) satisfassent à (1) est
dv dV ATEN
(TIMEVE= 0: — = 0, D RICE Fa STE ml en sous-entendant que z = 0 n’est pas racine. |
Ces équations sont équivalentes à celles qui ont été trouvées plus haut si les qg racines sont distinctes; si æ& était plusieurs fois racine de (2), il n’a besoin que d’être racine simple de (r) pour que les équations (7) aient lieu. On voit que, au lieu de supposer «& égal à l’un des coefficients de (1), on pourrait le supposer choisi de telle sorte que les coefficients de (1) soient fonctions linéaires de ce paramètre; cette équation serait alors de la forme À + aB —0o et, d’après ce que l’on a vu plus haut, il faudrait supposer que A et B n'ont pas de facteur commun.
Racines égales.
16. Toute quantité p fois racine de f(z) — o est exactement racine de f{{(z)=0.
Soit, en effet, « une racine d'ordre de multiplicité p de p —1 fois f(z) —0, alors on a
fs) =(z— a), où Q n’admet plus le facteur (3 — &). On entire f'(z) = p(z — a)r-1Q +(3—a)r0 =(3—a)?-1[pQ +(z—ax)Q"].
Q" désignant la dérivée de Q; f'(z) est donc divisible par (z — «)?—" et n’est pas divisible par une puissance plus élevée
de z — a, puisque pQ n’est pas divisible par z — oc. « est donc racine d’ordre de multiplicité p — 1 de f'(z).
Désignons maintenant par P, le produit des facteurs simples de f(z), par P, le produit des facteurs doubles pris une seule fois, etc., en sorte que
HSE APS RSR HAUTE PP 2120;
Q désignant les facteurs de f'(z) non contenus dans f(z): le plus grand commun diviseur de f(:) et f'(3) sera
Ci) = Pr, d’où
D = PhPoPr ee = f1(3).
En appelant w,(3) le plus grand commun diviseur de o(z) et de o'(z), on trouve, en divisant o(z) par oi(z),
(2) colons donc f 1(3) Le — P,, 22) Ù
On a ainsi l’expression P; —= O
de l'équation à laquelle satisfont les racines simples de {(z) =. Cette équation est, en général, irréductible. Pour déterminer P,, on a
(2) = PPT
et si w,(z) est le plus grand commun diviseur de vw,(z:) et de p,(:);, on a fe RP ie),
d’où l’on tire
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 29 En continuant ainsi, on a successivement 5 — O, Pa O, PE O0:
et la résolution de ces équations fait connaître les racines de f(z) = 0. On ne saura pas toujours résoudre ces équations, mais en tout Cas, él est toujours possible de remplacer la résolution d’une équation qui a des racines multiples par la résolution d’autres équations qui n’ont que des racines simples et lesquelles entrent à un méme degré de multiplicité dans
