OX
Cette équation, étant identique, subsistera en remplaçant x,;, Las es Dh PAT Date NL VAUT ANNULADt Ie PAL cepté y, qu'elles rendent égal à un, et alors on aura
A dir + dia ok +... + dinAnk = Arr (TN IR 0) Où (&1 = Ax)@1x + A9 2% +... + inZAnk = O, (5) 21 Lx + (G22 — Ax)a2r +. + don Ank = O,
d’où nous tirons, en éliminant les & et en remplaçant A; par s,
dj1 —S &i2 13 SALÉE (9) o(s) — A1 Ti SONT AT TUE O:
ra : se | Si l’on permute circulairement A,, A;, ..., A, et 7y:, Vas +. Yn l'équation (7) ne change pas; les coefficients de
(2) se permutent circulairement, tandis que les æ et les a ne changent pas; dans (8) Az; est remplacé par A4:, tandis
que les a en (9) ne changent pas. L’équation (9) a donc pour TACINCS AS NAS NERF PAT
is
FORMES QUADRATIQUES. 343
Toutes ces racines sont réelles. — En effet, les coefficients de l’équation (9) sont, par hypothèse, réels; s’il y a des racines imaginaires, elles doivent être conjuguées deux à deux; soient A; et À, deux semblables racines; remplaçcons dans (8) A; par sa valeur, alors de ces équations et de (4) on pourra tirer Œix; Cox, . -., Anxs et Comme dans les équations qui déterminent A, il n'entre pas d’imaginaires, pour déterminer œyys Car, ... Onts il Suffira de changer ten —:;il en résulte que &;;, et «;, Sont conjugués : leur produit est donc positif, ce qui est impossible en vertu de (5).
36. Lorsque l’on remplace A}; par sa valeur dans (8) le déterminant de ces équations s’annule et l’une de ces équations devient une conséquence des autres, et si nous désignons par Aix; Aok . -., Anx les mineurs relatifs à la première ligne, nous avons
CAVE A9}; X ne I
ne — ne Ep ,
A1 Àok Ank VA? me A3x+ et A2,
où le dernier rapport est déterminé par (4). Les & ont donc des valeurs bien déterminées quand tous les À ne sont pas nuls; si tel était le cas, on pourrait faire usage d’une autre ligne. Enfin, si tous les mineurs étaient nuls, deux des équations (8) rentreraient dans les autres, une des quantités «& pourrait être choisie arbitrairement (moindre que 1); dans ce cas on à w'(s) — 0, et deux valeurs de s sont égales, car 00 09
et tous les termes du second membre sont nuls, car les déri- É do ‘ : .
vées PPT sont des mineurs du déterminant o(s). On ver- À de Ma rait de même que si deux des quantités « peuvent être choisies arbitrairement o"(s) —o et ainsi de suite. Nous allons montrer maintenant que la substitution consi-
dérée est orthogonale et que l’équation (3) est satisfaite. En
344 FORMES QUADRATIQUES.
effet, si Az; et À, sont des racines distinctes, on à
di dik + dk +... + dinAnk —= AxGik,
ji 1/7 = ja 2] Se . ce in An == LV Qi].
Si l’on multiplie la première équation par &;/. la seconde par a;4 et si l’on retranche, on a
andre — Quiair) + Gis(don ai — doi)... = (Ar—À;)a;xa;
si l'on fait 11, 2, n ets l'ontajoute toutes Les éque tions ainsi obtenues, on remarque que, en vertu de Ja relation Grp pro VOUS MISERERE SC premier membre se détruisent et l’on a
(Az — A) (tk @11 + aka. + AnkAnt) — O,
de sorte que les équations (5) sont satisfaites, ainsi que les équations (4) qui ont été introduites pour achever de déterminer les «.
De ces équations il résulte que tous les termes de la forme Bym Y1Ym» Où L'et m sont différents, s’évanouissent, en sorte que l’on a bien la relation (3).
Invariants.
37. Une substitution linéaire transforme Ya;;æ;x; en une autre 2b;;y;y;, avec d’autres coefficients. Toute fonction des coefficients qui, après la substitution, se trouve seulement multipliée par une puissance du déterminant de la substitution est ce que l’on appelle un irvartant.
Quand on multiplie le déterminant de la substitution
A D = Z 2j ae Non
par lui-même on obtient un nouveau déterminant dont l’élément général est
Chi Uk 17 + ok A7, .. .; AnkAnl.
Si la substitution est orthogonale tous ces éléments sont
FORMES QUADRATIQUES. 345
nuls, sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à 1; le déterminant D est donc dans ce cas égal à Æ 1.
Dans le cas général les valeurs des coefficients de la transformée sont données par la formule
bij= arr.
Si l’on multiplie le déterminant A Elise nn
deux fois par D, on obtient le déterminant A où les a sont
remplacés par des b; mais si l’on multiplie À par D? le terme
cénéral sera | diilji + discCjs +... + dinCjn:
ce qui montre qu'après le changement des a en b, À est multiplié par D?. À est donc un invariant; on lui donne le nom de discriminant de f.
o(s) devient égal à À quand on fait s — 0. Donc À — o est la condition pour que f se décompose en nr —1 carrés: c’est là une propriété qui ne se trouve pas altérée, comme on l’a vu, par une substitution linéaire.
Lorsque l’on effectue une substitution orthogonale, les coefficients de o (s) ne sont pas altérés; pour le voir il suffit de considérer l’expression
f—s(xi + xi +...+x2).
dont le discriminant est o(s), quel que soit s, ce qui exige que tous les coefficients de o(s) restent les mêmes après la substitution orthogonale.
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