RE AY = U
ce qui est en contradiction avec ce qui précède, puisque pt est positif ou nul. C, doit donc être nul, et le théorème est vrai dans tous les cas.
Nous avons alors à notre disposition un moyen pour former tous les semi-invariants; en effet, en composant à, avec luimême on forme les semi-invariants du second degré; en composant ceux-ci avec &,, on a les semi-invariants du troisième degré, et ainsi de suite.
Exemple : Avec A,—c;2, n—3,on forme l’invariant[voër(21)|
R = 2(A — A) = 4(A0À2 — Af) = 4(aour — af )(aia3—ai) = (&o 43 — [AA do )?.
Bou = ona
12(A0A2—A?) = 2(ao@2— af) (@oa;+24aa3— 342) —3 (4 43—41@},
ce qui est un semi-invariant du quatrième ordre (ordre du covariant correspondant).
Pournr—2q+1,0naaa;,,, t..-.et, en différentiant par rapport à Gg+1, ON à UN seMmi-invariant
C2q+1 — AG 2q+1 +... ,
Ces semi-invariants et ceux que nous avons appelés d, d,, ds, ... peuvent servir à exprimer tous les semi-invariants sous forme rationnelle, avec des dénominateurs qui sont des puissances de &,, et l’on pourra obtenir ainsi, ordinairement, des puissances moins élevées de a&, en dénominateur, que si
l’on employait les c et les d.
27. Nous avons vu que tous les semi-invariants, multipliés par une puissance convenable de &,, pouvaient s'exprimer en fonction entière des c, et, en faisant usage des d et des e,
nous avons vu que cette puissance de a, pouvait être abaissée; on peut se demander si, en introduisant de nouveaux semi-invariants, on peut parvenir à réduire ultérieurement cette puissance de &;.
On peut enfin se demander s’il n’existe pas un nombre fini de semi-invariants d’une forme permettant d'exprimer sous forme entière tous les autres. C’est ce qui a lieu effectivement, et Gordan en a donné une démonstration très compliquée en considérant successivement tous les semi-invariants de degrés croissants, en écartant ceux qui peuvent s’exprimer en fonction d’autres de degrés moindres; nous ne parlerons pas de cette démonstration, mais renverrons à celle beaucoup plus simple de Hilbert (Wathematische Annalen, Bd. 33). Sylvester a donné, à l’aide de longs calculs, le nombre des semi-invariants nécessaires jusqu’à 7 — 10 (American Journal, Bd. 2). L'auteur du présent Traité a poussé les recherches de Hilbertplus loin (Acta mathematica, Bd. 15 ; Theorie der regulären Graphs) et a obtenu des résultats qui permettront peut-être de trouver directement les semiinvariants en fonction desquels on peut exprimer les autres. Nous exposerons ici un problème dont la solution sera nécessaire pour arriver à ce but.
Si l’on considère l’expression
Pi= (ti — La) (Xi — La )4... (Mn1 — Æn)%4,
où P, est de même degré par rapport à tous les x, et si l’on forme la somme ZP relative aux valeurs que prend P quand on y permute les +, ce sera une fonction symétrique, qui est susceptible dans des cas particuliers de s'annuler identiquement. Le problème dont nous avons parlé a pour but de caractériser les expressions P, qui jouissent de cette propriété.
28. Le premier composant de A, et B, est D, — (A—B) — AB: Fr B, A1.
On l'appelle le déterminant fonctionnel de A, et B, (à proprement parler, c’est celui des covariants correspondants):
si l’on forme le déterminant fonctionnel de D, et d’un autre semi-invariant Co, on à
Do C1 — Co D — A5 B1 C1 — A Bo C1 — A: B1 Co + À Bo Co = = [B(A— C}+ Co(A—B)2— As(B— C}?],
ce qui permet d'exprimer le déterminant fonctionnel au moyen de formes d’un degré moindre.
Le produit de deux déterminants fonctionnels est donné par la formule
2 (A0 B1 — Bs A1) (Co Di = D, Ci) —— AC (B—D)2+A,D,(B—C)2+BoCo(A —D)2—BoDo (A—C }?.
On appelle forme hessienne de A, la quantité A, A, — A°, Le second composant de cette quantité et de A, est, si l’on suppose que À, détermine un covariant, d'ordre pr
(CASA AS) AS CR AE ASIA > ———Aol2A1 5 (u—3) AA; — (pu 1)A2] — “mere
pu 10
où D, est formé d’ue manière analogue à &@,.
Systèmes généraux de formes jusqu'à 7 = 4.
29. Nous supposerons que nous n’ayons affaire qu’à une seule forme fondamentale de degré n£4, et nous déterminerons le système de formes qui lui correspond, c’est-à-dire les semiinvariants nécessaires et suffisants pour pouvoir exprimer tous les autres. Pour y parvenir, nous établirons le théorème suivant :
St, dans un semi-invariant d’une forme a%, nous rempla- CONS TESPeCILPEEN Lin, rs os 2-0 An Par 0, dos 25... RAn—19
nous obtenons un semi-invariant.
Un semi-invariant w peut se mettre sous la forme
A ne contenant pas &. Nous poserons ou AU = Co mt 1 0 da] BL)
ou ou du
AU—=I@ — + 3Q— +...+nAn 1 —; : Ds a “daz dan”
et, comme À, —0o,ona OA OT AA im ao AB, d&;
où a, n'entre pas dans AA ; cette équation se partage alors dans les deux suivantes :
OA OA OA —— + AB —=o, 2 — + 3A— +...—= 0.
Ja da
Si dans À on met a, à la place de a;, 2a,à la place de a, etc., A se changera en A’ et l’on aura A' 0À’ OA’
A — +2 =—— +... E(n—1)ap
=: 0 da 09 ni J
formule qui montre que À’ est un semi-invariant de a%-!. Si g et y sont le degré et le poids de w, le degré g’ etle poids v’ de A’ seront
o! — 0° y! ” OO! OÙ
On passe facilement de A’ à À. Quand on connaît À, u n’est pas en général déterminé, B ne l’étant pas. Mais si l’on à
UE Bio Us = Abu Non a U — Ua = (B1 — B2)@,
B, — B, désignant un semi-invariant de degré g —1.
30. Pour 7 — 2, on voit facilement que «&, et c, constitue le système général de formes et que a%c® est la forme la plus cénérale d’un semi-invariant.
Si 2 — 35, nous allons voir que le système général de formes est
&o;, Ca = A3 — A?, C3 = A$ A3 — 34142 + 24
et l’invariant
LUS Ci + 4 CE
= (4043 — 412) — (40 A1 — af)(a1a3— ai).
On « les valeurs suivantes de A’ CRU TG Go
Tous les A’ qui peuvent être formés à l’aide des semiinvariants de a? appartenant à «2, ils ont la forme az cŸ, mais ici « et 5 ne sont pas arbitraires, car pour uona 3gz2vet pour À’, par suite, 3g/22(v'+ 2’); d’où g'22v' ou «226. Ils peuvent tous s'exprimer comme produits des trois semi-invariants trouvés, excepté si &« — 26 +1. Ce cas ne peut pas se présenter, car & aurait la forme u = «a H$ + «B,
d’où o = Au = a H8 + &A1B, où AB HP, ce qui est impossible (26).
Si nous considérons un « arbitraire, nous pouvons en déduire l'A’ correspondant et l’exprimer sous forme entière à l’aide des trois A’ spéciaux, et si l’on remplace ces A’ par les semi-invariants H, c,, €,, on a « exprimé à l’aide de ces quantités à un terme près de la forme a,;u, qu'il faut calculer de la même manière, ce qui prouve que si le théorème est vrai pour le degré g — 1, il l’est pour le degré g'; il est donc démontré.
Si z — 4, nous allons prouver que le système général de
formes est . 2. 5) 9 oo, Cas C3 = ll, — A li143 + 345, J = (dot2— 4?) + 2414243 — ai — aa
o Ai a
— | Ai a A3 |,
cet ; désignant deux invariants. Les A’ sont ai; aÿ, C2, C3;
et il faut prouver que tous les A’ peuvent s'exprimer sous forme entière à l’aide de ceux-ci.
Nous trouvons, comme plus haut, g'2v'; si l’on exprime A’ en fonction des c et &; (14), a, ne peut entrer en dénominateur, car pour tout c le degré et le poids sont égaux : tout A’ doit donc se composer de termes de la forme
a 8 <Y dijcCaCze
Siæ=>1, a peut s'exprimer à l’aide-de afretta.tetmous avons seulement à examiner le cas-où A/— ac cY. Mais on peut voir que ce cas ne peut pas se présenter; en effet, on aurait
où S est un semi-invariant de a%; pour A’, on a g'—v'+1
et pour u,29 —v+1, et pour B, 29:=— v,; c’est la condition pour que B soit un invariant, et nous voyons comme pour n —3 que l'équation est impossible. Donc tous les A’ peuvent s'exprimer à l’aide des 4 considérés plus haut; nous en concluons que le système de formes est composé de
os C2, C3
et des invariants £ et 7.
Nous n’avons considéré que des semi-invariants de première espèce, mais ils peuvent servir à former tous les covariants.
31. La signification des covariants et des invariants consiste en ceci : en les égalant à zéro, on obtient les propriétés des formes qui restent les mêmes quand elles subissent des substitutions linéaires. Le discriminant exprime une semblable propriété et est un invariant; pour a, c’est la quantité H écrite plus haut. Nous allons chercher, comme exercice, la condition pour que les points racines de a — o, ou les zéros de a#, forment une proportion harmonique ou une division harmo-
nique sur une droite, en les considérant comme des abscisses de points en ligne droite; cette propriété n’est pas altérée par une substitution linéaire, et nous pouvons supposer les abscisses de nos quatre points égales à 0, 1, © et — 1; alors l'équation a la forme
4E1Eo (Et Ë59) = 0, où Gode RL, di 1, ASE To
on trouve 7 —o, condition qui convient à toute équation du quatrième degré.
Pour former le discriminant de af, nous observerons qu’il est du douzième degré par rapport aux racines de af — 0, &y est de degré g par rapport à ces racines; le discriminant est alors un invariant de poids 12 et, par suite, de la forme a+ 67?, « et 5 désignant des constantes dont le rapport est à déterminer (si nous faisons abstraction d’un facteur commun); nous considérerons, pour cela, une équation simple de diseriminant nul, par exemple
ou
Les covariants égaux à zéro fournissent des points qui sont liés aux points racines des formes fondamentales par des relations qui restent inaltérées par une substitution linéaire. Par exemple, les formes a? et b? ont pour semi-invariant do 0 — ba, et pour covariant correspondant
(&o b; ce bo )x? Re (&o 03 — bot) To +(a: ba — bia>)x? ;
les points racines de cette équation forment une division harmonique avec les points racines de chacune des formes a°, b2 (voir p. 164).
340 FORMES QUADRATIQUES.
Formes quadratiques à plusieurs variables.
32. La forme la plus générale d’une forme quadratique à n variables est, en supposant ay; = &yy,
(1) PE AT? + 20901 Lo + oo XÈ +... + Ann Li = DATE];
elle sera transformée par une substitution linéaire générale si l’on fait
| La = C1 Era Po Tor PT LR rs
J'ai 1 ER Mae TT ar Jres
Tn—= An1Y1+ An92+... + Ann) n;
où le déterminant de la substitution 2 Æ &,, 39 . .. nn n’est pas nul. Nous supposerons les a et les & réels.
Nous avons vu plus haut (p.85) que f pouvait être ramené, et cela de plusieurs manières, à la forme
(3) J= AY7?+A72+...+ApT2;
es À étant réels et les y désignant des fonctions linéaires et
homogènes des æ; nous supposerons ces fonctions linéairement indépendantes les unes des autres; si cela n’avait pas lieu, on pourrait toujours remplacer un certain nombre des + par leurs valeurs en fonction des autres et effectuer de nouveau la décomposition en carrés; en tout casp£n.
33. St l’on ramène f de deux manières à la forme (3), dans les deux cas le nombre des termes sera le même. Supposons, en effet, que l’on ait identiquement A7? Aoy3 ++ Apy3 = BY? + BaY2 +...-+ Bo Ÿ,
où qg > p. Les y étant linéairement indépendants, nous pou-
VonS EXPrIMET Zi, To. LLC DAIONCLIONSMITIE Aire LOT Vas LU Ypret déS AULTES TEL Porter AIeUTEAleUT MANS ETS Y2, ..., Yy, qui deviendront des fonctions de y{, Ya, - -., Ypo
Zp+15 ++ Tn. En différentiant la relation trouvée par rapport
FORMES QUADRATIQUES. 341
À Æpy1, ON Obtiendrait une relation entre les Y qui serait linéaire, ce qui est contraire à nos hypothèses. Donc q —p.
Dans tous les cas, il y aura un même nombre de coefjictents AetB positifs et négatifs.
Supposons A,, À, ..., À, positifs, B;, B:, ..., By négatifs, et les autres A négatifs, les autres B positifs; si le théorème n'est pas vrai, nous pouvons supposer r + {<< p. Si l’on pose
NA Yo er A VE te dE — O,
on pourra de ces équations tirer un certain nombre des x en fonction des autres et porter leurs valeurs dans l’équation
A7 SE A273 +. a — B, Y? —- B: Y3 PT
Si tous les Y s’annulent, c’est qu'il existe entre eux des relations linéaires, ce qui est contraire à nos hypothèses; s'ils ne sont pas tous nuls, le second membre de l'équation précédente sera positif, tandis que le premier sera négatif ou nul, ce qui est absurde.
Substitutions orthogonales.
34. 11 y a des substitutions linéaires qui changent l’expression TI +Li +...+TÀ en II+IÈ +. HT; on leur donne le nom de substitutions orthogonales. Il est facile de voir qu’elles satisfont aux relations
2 2 ae 2 ) LA p Up ere tn p ul CDN RO SET)
(4 (5) xd + dodo +... + Ank Ant = 0 ARS REC ER CE ET
En vertu de ces équations, si l’on multiplie la première équation (2) par &, la seconde par x, ... et si on les ajoute, on à
(6) VR= Lx Li + Uk Te +... + AnkDn CHER)
342 FORMES QUADRATIQUES.
et l’on reconnaît, en vertu de Yi +5 +...=2 Fa FR...
que cette substitution est encore orthogonale.
Pour n — 2 et nr —3, les substitutions orthogonales représentent des transformations de coordonnées rectangulaires sans changement d’origine.
35. Nous allons essayer de ramener f à la forme (3) au moyen d’une substitution orthogonale; nous supposerons le problème possible, quitte à le démontrer plus loin.
La formule
(7) f= AMI +AIY7i+. + ALT
donne
Ô dy en > Dire ie
