On peut encore obtenir s, de la manière suivante : on à

cette équation a lieu en supposant le module de x supérieur au plus grand des modules des racines, afin que le second membre soit convergent; si l’on remplace alors æ, successivement par toutes les racines de l’équation et, si l’on ajoute, on obtient, en vertu de la formule (2) du n° 19,

RS Re TR Ÿ 7:

es LS 19 1 1

TL ‘y (11) VIE GUL Ie Un

Si l’on développe alors le premier membre, suivant les . I . L puissances de =» On obtient deux expressions de cette fonc-

tion qui doivent être identiques pour les valeurs de x de module supérieur à une quantité déterminée. Une simple division permettra donc de calculer 5;, 5, ....

La quantité peut aussi, pour des valeurs suffisam-

L — Li ment petites de x, se développer en série convergente, suivant les puissances de x à exposants positifs ; on a

men en nur oi AO ; L1 Can Li

on en déduit, par des moyens analogues à celui qui a été

employé tout à l’heure,

ME) — — À — 9: T mnt 2 ..

(12) ES S 1—+ ST HS 3 A2+..., , . : 1 J:CE) et l’on trouve s;, s», ... en ordonnant le quotient mr nt

suivant les puissances positives de x. On voit l'identité des méthodes qui ont permis de calculer s, en fonction de s,:, Spoeyter..s Spons di 40e 0e lAUonmUuIer(o)/dumi19 "et quivpers mettent de calculer un terme d’une série récurrente en fonction des précédents; les termes de l’échelle de relation sont les coefficients de l’équation changés de signe.

Autres fonctions symétriques.

21. Les fonctions symétriques que nous venons d'apprendre à calculer sont ce que l’on appelle les fonctions simples; les fonctions doubles sont celles dans chacun des termes desquelles il entre deux racines, les fonctions triples sont celles dont les termes en contiennent trois, etc.

Le terme général d’une fonction double est ainsi de la forme HAE Si l’on forme le produit Su sg ON trouve les termes de RTE et, en outre, des termes de la forme œatb : ainsi On à (1) DAFT = SaSg — Sorpi on voit que les fonctions doubles seront des nombres entiers si les coefficients eux-mêmes sont entiers, et que leur degré, estimé comme nous l’avons dit plus haut, est égal à la somme des exposants @, f.

Pour &æ—5, les termes sont égaux deux à deux;,-car atax$ — xx; et comme, dans la fonction symétrique, ces termes ne figurent qu’une fois, on a

Ext xt — 5 (a — $9g ).

Pour obtenir la fonction symétrique triple 2e 0, on multiplie (1) par s.» et l’on a

Sy Ü 1 L » — Sa ‘g Sy mar Sa+8 Me Les termes du premier membre contiennent ceux de la fonction symétrique cherchée, mais il y en a d’autres qui proviennent de la multiplication de termes de la forme xY par des

termes contenant encore x,; ces termes sont ceux de la fonction symétrique

Sd Vent S ra B+y e ss À .

ZA xs + Zaxt xt 0e Sasgry 25 +87 à on à donc (3) Det re at = Susas, — 548$ — SQS —- + 2 A OS AT RUE L'B+y ‘B'a+y y'a+B a+fB+y?

dans le cas où deux des exposants &, 6, y deviennent égaux, les termes deviennent égaux deux à deux; quand les trois exposants «, 5, y deviennent égaux, six termes deviennent égaux; ainsi On à

CO Le

A . (SË Sy — 280 Sa+y — S2a $y + 2824+y),

MA

(5) LL at at = — Rd On peut continuer ainsi, et il est démontré que toute fonction symélrique entière des racines est une fonction entière des coefjicients; elle est homogène, et son degré est la somme des exposants des racines, pourvu que l’on considère a, comme étant du degré p.

Nouvelle méthode pour le calcui des fonctions symétriques des racines.

22, Les formules de Newton s'appliquent assez facilement aux équations numériques, mais il y à d’autres méthodes qui sont préférables quand i’on à affaire à des équations littérales. Telles sont les méthodes de Waring et de Cauchy; nous

allons indiquer ici une méthode qui, au fond, coïncide avec celle de Waring, mais qui est d’une application plus commode.

Pour la facilité de l’exposition, nous écrirons l’équation donnée sous la forme

(1) A — A ANT + Que — GANT, , ,— 0, nous supposerons la fonction symétrique © de degré «; soit (2 ® — An Ce Ar An—1 Fos.)

A; a, Contient tous les termes de o qui dépendent de a,; A n+14@n-1 Contient, parmi ceux qui restent, tous ceux qui dépendent de a,-1, etc., l’indice est égal au degré. Cette équation, quand on y remplace a,, &n-1, ... par leurs valeurs en fonction des racines, se transforme en une identité; on peut y annuler autant de racines que l’on veut, et si l’on s’arrange de telle sorte que le dernier terme de o, en faisant cela, soit le seul qui ne soit pas nul, ce terme sera tout calculé; on peut alors se débarrasser par la division du produit des racines restantes, et continuer à appliquer la même méthode. Nous allons appliquer cette méthode à quelques exemples.

Exemple I :