Nous considérerons, en particulier, les fonctions symé

triques

DT EN DEN al . PME N EE

pour le calcul desquelles Newton a donné la méthode suivante : de

() f(x) =(x—r1)(x— 22)... (æ — Zn)

on tire, en prenant les dérivées logarithmiques (‘), Han Ù

(2) Te) En Lx: LE Lo FApé PiNamene

(*) Cette formule peut aussi s'établir comme il suit : on tire de

la formule

f(x+h)=(x+h—zx,)(x+h—x,)... (x +h—x,)

et HÉCAn ( " k ) k h nr crier eur 0 D ee :

Jtx) lt ml) mais fr 4) SO NE = — =i+ = + +...; J(x) FRE) JA) C2 si l’on ee les coefficients des mêmes puissances de 2 dans les deux expres- (x +h) sions de ——; on a es FRA I I I Cr) tr ete PAT uen TA) I I 1

2 SE) Ge) G=a) (a a) zx) Gr) 2)

Ainsi x) f(x) f(x) 3 4 ss 4 === JCx) + ——— PARA . (3) f(x) nn a or on à (4) f(x) = a+ aa 1 + ax 2 +... + an et Te PIE vi) our Sri NAME Enr ANT 1 —+ di + di Ti + aix? + 4 Da —+ do —++ do T1 + ER + 43 ee aie doute + An-2 Xi one

on à d’autres équations analogues, en permutant x, avec les HAUTS TACINOS Ter De. ln:

En ajoutant toutes ces formules, on a, avec les notations adoptées tout à l’heure,

fx) = nan li+s: XN-2 + So | xN—2 + $3 ARBRE, + Sn Er + &5 | Ars dires + 42 | + @51 + deSns + na3 SR + An-21 + RAn-—1 ;

d’un autre côté, (5) f(x)=nretl+(n—t)aar + (n—2)art +. + an; en identifiant les deux valeurs de f'(x), on à

Pre 0;

le .e © ne ec 212 5 at ee cab phoïe a se) se ,

(6) | $3 + 82 + Si + 0 0,

Sn-1 + di5n-2 + AoSn-3 +. + An-281 + (R —1)\An-1 = 0.

De ces équations on tire, par un calcul de proche en proche,

$9 — ai — 22,

S3=— Qi + 34142 — 33, (7) RE :

S,—= At —4aîfa2 + {d4a43+2ai — Aa,

S5—=— ai + 5aÿaa— 5 af az — ñ (a — dn) 41 + 5243 — 545,

Peu de se 0 LS NE es ere :

ces formules ne peuvent servir qu’à calculer 5, 52, ..., Sn-s.

Pour calculer s?, ss, tonanultiDle NEC IDaneo ie ret

; l’on à Trm + a zrrm-1 + DIEM nd T0,

équation satisfaite pour & = Zi, Los . -.» En. Si l’on remplace successivement x par ces valeurs, et si l’on ajoute les résultats obtenus. on trouve

(8) Sn+m + Sn+tm-1 + CaSn+m-2 Te. + AnS$n = 0; ét entlaisantert— 0,1, (ettentODSerVAnt QUES re on à

Sn —- “1 Sn —1 —- lo Sn-9 +. . .—+ An —= O, (9) Sn+1 + dSn + Aa8nni +... + AnS$1 = O,

| Sn+2 + A1Sn+1 + Can He. An$2 = 0,

Ces formules permettent de calculers;, 5:41, $:5, .. quand Sn—15 Sn-2s -.. Ont été calculés par les formules précédentes. Les formules, auxquelles nous venons de parvenir, montrent que, si les coefficients de l’équation (4) sont des nombres entiers, les sommes des puissances semblables des racines sont aussi des nombres entiers. Dans la suite, nous aurons besoin de remarquer que les formules précédentes sont homogènes, quand on y considère les indices des a et des s, comme jouant le rôle d’exposants. Enfin que les coefficients sont donnés par des équations linéaires quand on connaît

S1; $2;, CHCRON Sy

RELATIONS ENTRE LES COEFFICIENTS ET LES RACINES, ai

Quand on connaît s, pour x valeurs de p consécutives, on détermine les coefficients à l’aide de x équations. Le calcul de s, peut se faire en faisant usage de l'équation

obtenue en changeant x en =; pour celle-ci on a, en effet,

, D 1\? D nn Sp = ) = Ti — Sp.