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RELATIONS ENTRE LES COEFFICIENTS ET LES RACINES. ht

on trouve =: 9 S: = 3 $2 — S1, sis Gt D 3 = > Sç — GS: ed | D 89 81 — 105%,

d’où l’on conclut l'équation aux carrés des différences

MR PYrEE OQr +R =0 où P=—2p?+ 639,

Q=p}—6p?q + 94°; R—=4p°r — p?q?—18pqr +4q+27r?.

On peut donner du discriminant une expression qui est souvent commode; si l’on pose

f(x) = (x — x) q(æ), si l’on différentie et si l’on fait x — x;, on trouvera PDN=ri— x1) (ai Da). (ri dia) (ai dir). (ai an).

Si l’on remplace x; successivement par toutes les racines et si l’on multiplie entre elles toutes les équations obtenues, on obtient dans le second membre tous les facteurs de la forme — (x; — x;)°; le discriminant est donc de la forme

fe A ET TER

Fonctions rationnelles des racines.

26, Une fonction rationnelle d’une racine +, d’une équation f(x) — 0, de degré 7, peut se mettre sous la forme

® et L désignant des polynomes entiers. Si l’on multiplie haut et bas par V(z:) (xs)... Y(x,), on a

W(xa)...V(rh) ; Y(x1) Y(x2)...Y(æn)

(2) o(xi)

Le dénominateur est une fonction symétrique des racines et peut être exprimé rationnellement en fonction des coefficients; le numérateur est une fonction symétrique des racines de

PEN (3) 0, dont les coefficients, quand on à effectué la division indiquée, sont des fonctions entières de x, et des coefficients de f(æ). La fonction rationnelle donnée est donc réductible à une fonction algébrique entière de x,, j'ajoute que l’on peut supposer son degré au plus égal à 2 — 1; en effet, si son degré est plus élevé, on peut la mettre sous la forme

Q f( T1 ) —- Ie

où KR est du degré 7 —1 au plus, et comme ÿ/(x;)—,0on voit que toute fonction rationnelle d’une racine d’une équation de degré n peut se mettre sous la forme d’une fonction entière de degré n — 1 au plus.

Si l’on avait une fonction rationnelle de plusieurs racines, on la mettrait d’abord sous la forme

Are AT +. . + A Cra

DUMAS, A. A DeUVÉNLILONLELUII Ze Ci GDACUNEUE ces coefficients peut être traité de la même facon par rapport à x, et ainsi de suite, et l’on arrive ainsi à une fonction entière des racines, dans laquelle l’exposant d’une racine quelconque ne peut dépasser 7 —1.

Exemple. — Dans l'équation

HE DAMES TO, on peut mettre une fonction d’une racine sous la forme a+ bxi+ cri, mais il vaut souvent mieux adopter la forme

axi+$. LT Y d

on l’obtient en remplaçant æ par >, dans l'identité

C(ri+ pr+qzx+r) = (cx?+ bx+a)(cx + pc —b) + [ge?— ca + bp) + 0?]x + re? — apc + ab.

Alors le premier membre étant nul, on a

cxi + bxi+a=— CT + pc — D

ge? — ca + bp) + 2 ]xi + re? — ape + ab