POUR = 0 ONE

LÉ LS (Li — 22) = A, = ai (— hai+ af):

et alors

U = a3(toa3 + did + aaaÿ) + a?(— {a+ a?).

si l’on fait Li = La —=]I, 1 =:

et si l’on égale les coefficients de 2*, on a O— 42 +4, 42 —=— À; en égalant les coefficients de 2°, on a 241 — 24 — 12 = 0, A1 — 10:

et si l’on égale toutes les racines à l’unité, on trouve

er Con 27; alnsi On à

— m2 3 2 D 29 ÜU=—27a$ +183 024 — 4 aa — 4aÿ + a? ai.

Dans cet exemple et dans le précédent, le résultat ne change pas en revenant à la forme primitive de l’équation avec tous les coefficients positifs.

Formules générales pour le calcul de s, et de «».

23. Le théorème de Newton permet de calculer s, quand les coefficients sont connus, et, inversement, les coefficients quand $,, 5, ...,$, Sont donnés; mais le calcul exige la résolution d’un système d'équations linéaires. Par la méthode suivante, on trouve l’expression explicite de ces quantités.

Soit

(A) (T— t)(tT— 2). (T— Zn) = a+ Mari Qt +. + An;

dans cette identité, supposons æ plus grand que le plus grand des modules des racines; alors, en divisant par æ”* et en prenant les logarithmes naturels, on a

tous les termes peuvent être développés en séries convergentes, et l’on a

a “1 S2 Sp (e a a* 60) nt ln ++ —— +. | =a—— + — — + +...

ME 2 x? pxP ; 9

formule où l’on a posé

Égalons, de part et d’autre, les coefficients de +x-?; dans le . 5 S premier membre, il est — Fr dans le second membre, le terme général est

(— 1) /ai &@ An\# +. li:

k x mA d'A ARE

et le terme général du développement de la parenthèse est

égal (en vertu de la formule du polynome) à

(Bi+ B2+...+ fn)! 6, 82 ANR PET a ) (4) 6 L nes Del a a... af Ha & Are où (59 Bi+ Bat... .+fn=t;

on n’utilisera que les termes pour lesquels (6) Bi+2fo+...+ nbsp,

de sorte que la solution générale sera

Bi Ba pa (7) ED 2 ASE, PR DES CS

e 3 181 R0 Ho ss. Pr:

où B;, B2, ..., Br doivent recevoir toutes les valeurs positives ou nulles satisfaisant à (6).

Pour obtenir a, sous forme explicite, on tire de (2)

di > An Ace = +.) œ a?

(8) 14+— + —+ Rire = I — —- + +...

2 CRIE I 152 où S1 Sa S3 X = — Nr.

T 2 x? 3x8 ; et l’on trouve comme tout à l'heure ee SE RÉ On NPA a Rs NE (9) CD Peere et PAU :}) EU PE Een À, 7 see G Al ‘# 5) n où (10) Bi 282+ 383+...+nBr=p; on trouve ainsi di —= — S1, 243 Sf— S (11) 3! az — 5 + 094 So 253, Ala—= sk— 65?5+ 85153+ 353 — GS, 5! a3=— 554105? $9— 2057 53—15 81855 + 30518,+208$283—2485;,

comme avec les formules de Newton.

RELATIONS ENTRE LES COEFFICIENTS ET LES RACINES. 39 24. Si l’on applique (3) à l'équation (12) 2?— ax +b—=o,

on trouve

(—1)p(p—p—1)! pou (13) D CP "2 Up

où pr doit recevoir toutes Les valeurs 0, 1, 2, ... jusqu’au plus

grand entier contenu dans L. On peut aussi écrire Sp == ap — pal? ae —— ap-#b2 +, Ne Po 14) « (4) pip—um—1)(p—um—2)...(P—2H+T) pou + (— 18 a?

LACOUPAU

pour l’équation on à | Sp = XP — pxP—? +

Le po NO mt EE ot mr dl à | OLA AOC

formule qui trouvera son application plus tard.

Équation aux carrés des différences.

25. Etant donnée une équation, on peut en déduire une autre dont les racines sont les carrés des différences des racines de la proposée. Soient

Li; La, CRC Ln

les racines de la proposée; les racines de l’équation cherchée seront (Z1— Ta )?, (T1 — La), CL QC) (Tn—1—Ln)?,

. : , HR —1) et cette équation sera de degré ————:

ho CHAPITRE II.

Cette équation a joué autrefois un rôle important dans la théorie qui nous occupe. Si l’on annule son dernier terme, on exprime que la proposée a des racines égales, car cette circonstance exige qu'une des différences au moins soit nulle. Ce dernier terme, abstraction faite de son signe, porte le nom de discriminant de l’équation proposée. Si l'équation donnée a deux paires de racines égales x, — ze, æ: — æ:, les deux derniers termes de l'équation aux carrés des différences seront nuls. Si l'équation proposée a trois paires de racines égales, les trois derniers termes de l’équation aux carrés des différences seront nuls, etc. |

L'équation aux carrés des différences servait surtout à trouver des intervalles comprenant une seule racine de l'équation proposée. Nous parlerons plus loin de cette application, nous allons donner ici une méthode simple pour former l’équation aux carrés des différences. Pour former cette équation, Lagrange exprime les sommes des puissances semblables de ses racines S,, $,, ... en fonction des sommes des puissances semblables des racines s,, 5, ... de Ia proposée comme il suit.

L'application de la formule du binome donne identiquement

(TX — 23 )P+(T— ta )P+. + (x — Xn)?P

2 2p(2p —1 = n XP — 2P yon, e AE ere + I il 40) si l’on remplace successivement æ par æ;, z, ..., et si l’on ajoute, on à 2pD 2p(2pD —1) 29p = NS De “E S2p—1 81 + LE S9p—282 +..,+ NS2p,

et comme les termes équidistants des extrêmes sont égaux,

2pD

Oop(2D—1)..-(n-Et (1\ Sp = n$ap— É spirit = NS Pet as ) 2

LUE hs

Si, par exemple, l'équation donnée est