I , ES
changeant x en =) On peut donc dire qu'il y a toujours mn
solutions communes ou r#n intersections, si l’on compte les solutions qui croissent indéfiniment ou les points qui s’éloignent à l'infini. Ces considérations, qui conservent au théorème relatif aux intersections de deux courbes toute sa généralité, sont d’une grande utilité dans la Géométrie moderne.
Exemple. — Les équations générales du second degré sont
fr) = «7? + MI + Go; F(7) —= bo Y? + by <e Do.
On trouve, pour le produit f(y:) f(72),
CR MU SOLS AR ER A TI NÉ + ao Y1Y2(Y1+) 2)
+ Ai J1Y2+ Go (Yi +75) + M @(Vi+ Je) + ai
ou F est be | D bi RATES AD EEE HET à CHROME ba MAL RAT 2 er
19 19 S| ST [=] nd Re
= Si are er 2
Voici comment on peut former la fonction f(y:) f(y2):... On divise f(y) par F(Yy), et l’on a, en appelant E un Tome entier, f ,
(7) 2 (Yi) [ — E ARCS F(y) my y: FU)
(y) I I DS ce qui permet de former Z2o(y;), Z2y:®(Yyi), ... par une
simple division; on à alors identiquement
o(Y1) GUY NO O(Yn) I I >< I HLOCY I). Ya POINT: 67h) FD OMNE sr OCT C8 AM AIG TAN Ge Mate MS a Cm NN CE
—=9(y1)p(Ya) ...pCrn).D?,
en appelant D le second déterminant. D? est égal au produit des carrés des différences (y; — y;) ou au produit
MONNIER ANNEE (voir n° 95 et 37) cette équation peut s’écrire Z o( Yi) D CARRE C/O (y) E FF ACTOR RER TE CEE (Tr) = {T0 OS)
ce qui fait connaître l’expression de l’équation finale.
Méthode de Labatie.
30. Soient V,— 0, V,— 0 les équations données en x et y, ordonnées comme plus haut; soit x le degré de V, en y; nous supposerons que V, est de degré égal ou inférieur au degré de V,. Si V, et V, ont un facteur commun, nous le supprimerons ; outre le nombre fini de solutions que nous déterminerons plus bas, les équations seront encore satisfaites pour toutes les valeurs de x et y qui annulent le facteur commun.
Maintenant cherchons le plus grand commun diviseur de V,et V,; on finit par trouver un reste fonction de x seul; en égalant ce reste à zéro, on a l'équation finale, car cette équation exprime que V, et V, ont un facteur commun. Mais, en examinant les choses de plus près, on voit qu'il peut s’introduire des solutions étrangères, de même qu’il peut en disparaître ; cela tient à ce que, pour éviter les fractions, on introduit ou on supprime des facteurs dans les calculs. Ces facteurs sont fonctions de x seul : ceux qui seront introduits dans les dividendes seront désignés par w, ceux qui seront supprimés dans les diviseurs seront désignés par ?, les quotients seront désignés par Q. On a alors tout d’abord
(1) ui Va = Q1 Vo + Vavi;
on voit alors que les deux systèmes d'équations \ ui V1 =0 Von,
(2, Vo 0 Fs | Vsri=0
ont les mêmes solutions finies, car toutes les valeurs finies qui satisfont à l’un, satisfont à l’autre ; si l’un des systèmes a des solutions multiples, l’autre les a aussi et au même degré de multiplicité; car on peut regarder ces systèmes comme des cas limites de systèmes plus généraux sans solutions multiples.
Ce que nous venons de dire n’est vrai que pour les solutions finies; les deux systèmes peuvent ne pas avoir les mêmes solutions infinies; ainsi le système
HN nat DE CI 0,
Li+ + axz+biyr +c—=0o
à deux systèmes de solutions infinies, et l’une de ces équations combinée avec
(a— &a)x+(b—bi)y+c—c—=o
n’a pas de solutions infinies. Nous laisserons de côté les solutious infinies.
Les systèmes (2) peuvent aussi s’écrire
({ wi — 0, Na" 0 et Pit 0, V>
(5 4 % l Vo — O, Va 0 Vo — O, V3
nous désignerons ces systèmes par 1, 2, 3, 4.
On voit que, si l’on remplace le système donné 2 par 4, on introduit les solutions étrangères qui appartiennent à 1, et que l’on à éliminé celles qui appartiennent à 3. Dans le cas où u, et ?, ont un facteur commun d,, on peut l’écarter par la division, car il entre les deux fois en combinaison avec V,=o :il disparaît une fois en divisant par #,, tandis qu’il s’introduit une autre fois en multipliant par w,; de la sorte le système donné sera remplacé par
1 ne, (4) ee et Ve 0; l Vo == (4) Na
LS
pe
do CHAPITRE I.
et les solutions étrangères introduites sont déterminées par
F\ Ui :
(2) FAN A VS Où On opérera, sur le système V, —0, V0, deAlaameme facon que sur le système primitif, et l’on continuera ainsi de suite jusqu’à ce que l’on parvienne à l'équation finale, en ayant égard aux systèmes mis de côté et à ceux qui détermi-
nent les solutions étrangères. Pour obtenir l'équation finale, il faut la multiplier par 7 et par les quantités analogues, et
RE U sr la diviser par ns et les quantités analogues. Cependant, s’il s’agit des solutions générales des équations, on doit se rappeler que les racines chassées et introduites jouent un rôle spécial et tout autre que celui des racines, qui
sont telles qu'à chacune ne correspond qu'une valeur de y. (4 SA CURE 5 De cette façon, Fe — o doit être combiné avec V,—=o et une
équation analogue 7 avec V,+,—0, analogue à Ve o. Nous
allons maintenant montrer comment on peut simplifier la solution.
31. Nous avons seulement évincé les facteurs communs à un # et à un w de même indice; car on n'a à combiner que dans ce cas w et » avec une même équation. Nous allons toutefois établir le théorème suivant :
Siun uetun v suivant, par exemple u;eltv,ontun facteur commun x — @, qui n'appartient pas à un u Ou un P inlermédiaire, le système x—a—o, V;—=0 peut être remplacé par L—a=0, Vie 0:
Considérons, en effet, les équations
Ua Va = Q2V3+ Vive, (6) us Va = Q3Vi+ Vsvs, ui Ni = Qu Vs + Vovi.
Elles montrent que x = a, et les valeurs de y qui salisfont à w, — 0 et V,— 0 satisfont aussi à V,—oet NE O1USILIS
n’annulent pas #, ou #,) et inversement, les valeurs qui satisfont à »,—=0 et V;—o satisfont aussi à V,— o. Il est donc indifférent de combiner les racines communes à #&—=oetr,—=o avec V;—=oouavec V; —o, et ainsi (abstraction faite des solutions infinies) on ne commettra pas de faute en supprimant les facteurs communs à &, et #,. Ainsi, on peut supprimer tout facteur primitivement introduit par une multiplication dans un &w, si on le rencontre une première fois dans un #.
Si, par exemple, dans w, on trouve le facteur æ — «,, et dans w;, le facteur x — «,, on peut faire disparaître ces facteurs si on les rencontre pour la première fois dans un ?, et comme cela à lieu quelque petite que soit la différence entre œ,.et/æ, cela doit encore avoir lieu pour’ &; — 2.81 donc le même facteur à été introduit plusieurs fois, on peut le faire disparaître le même nombre de fois s’il entre dansles ?.
On voit maintenant quelles sont les équations à résoudre : , r u Ê . . .
d'abord, on a le facteur étranger A et la multiplication sui- Fil
Ui Ua rue . Sin ; on élimine, par la division, les facteurs
di contenus dans #,; en appelant leur produit d,, il reste à con-
vante donne
La
x Ui Us LUE 3 :
sidérer TA? et en multipliant par w, et en écartant les fac- EE?
teurs contenus dans ?,, dont on désigne le produit par d;, on Uy Ua U3 d; da da
Les équations données seront donc remplacées par le système suivant :
a à considérer » et ainsi de suite.
| ÉTRE : oTEe. w Vive : Pr-1 .
=. : — ; —— = n Ps à (] (2) | di do d'; di
è Va —— 0, Va: —= O, V, = 0: .... Vh = O,
équations qui, abstraction faite des solutions infinies, »e fourniront que les véritables solutions avec leurs degrés de multiplicité. Les facteurs étrangers introduits doivent donc, si cela n’a déjà pas été fait dans le courant de l'opération, disparaître de l’équation finale. Le dernier reste est V,,,v,-:,et l’on peut supposer V,,,—=1, ce reste ne contenant pas y, en
sorte que P,,—0 est l’équation finale, de laquelle après avoir divisé par &», On à écarté toutes les solutions étransères. Comme, en général, V, est du premier degré en y, le dernier système fait connaître les solutions qui sont telles qu’à une valeur de æ correspond une valeur de y; lavantdernier système fait connaître les racines telles qu’à une valeur de æ correspondent deux valeurs de y, etc. Comme les solutions multiples ne peuvent se rencontrer que dans des systèmes tout particuliers, on ne trouve que le dernier système, si l’on a affaire à des équations tout à fait générales. En général, l'équation finale, obtenue en annulant le dernier reste de la méthode du plus grand commun diviseur, est de degré trop élevé, puisque l’on doit en ôter les facteurs introduits pour faire les divisions, afin d'éviter les fractions. En opérant sur deux équations du troisième degré, on trouve un reste du onzième degré, et l’on à eu à multiplier deux fois par un polynome du premier ou une fois par un polynome du second degré. La dernière division introduit un facteur du quatrième degré; mais il ne joue aucun rôle, car il n’introduit pas de racines finies.
Si le nombre des racines communes est moindre que celui qui est indiqué par le théorème général, c’est que les racines manquantes sont infinies. En Géométrie, les solutions infinies ont une plus grande importance, et, pour cette raison, nous n’en parlerons plus ici :
Exemple :
Vi=i+2xy?+ (22x2— 4x )y + x?— 4 = 0, Na Ne RD OT SX ES —= 0.
On supprime dans le premier reste le facteur x — 2, et on
le combine avec V,. Le deuxième diviseur est y +x+2;il donne le reste x? — 5x + 6, et l’on obtient les deux systèmes
ren, X— 5x +6—o, +22 +22? —5x+2 = 0, Y+L+2—O, ainsi TL = 2, LT — 2, XL = 2, TE ee EE AN PS PR
Comme on devrait obtenir une équation finale du sixième degré, deux valeurs de x sont infinies. Les deux courbes représentées par les équations données ont deux intersections à l'infini et, sur les quatre autres intersections, deux se confondent pour donner un contact.
Méthode d’'Euler.
32, Soient
Ù = a+ y" LE Go y 2H , , + Am = 0,
V= boy + bip boy +, + bn = 0,
les équations données. Si U et V ont un facteur commun o de degré p,
(2) D = %0YP + y P LL + dp,
et si l’on pose
les polynomes NU et MV devront être identiques. N est alors de degré na — p et M de degré m— p. Multiplions alors U et V par des polynomes de degrés respectifs, égaux à 2 —p et m — p, et à coefficients indéterminés; et égalons les coefficients des mêmes puissances de y dans les deux produits. Si l’on élimine les coefficients indéterminés entre les équations qui sont du premier degré, on aura les conditions pour que U et V aient un facteur commun de degré p.
Soit
ù N = rop ATP Era PE Pn p;
(4) COMENT PER Cp PA ROUE En ps
On a à sa disposition m + n — 2p coefficients indéterminés, et l'identification des deux produits donne m + n — p équa-
tions; en éliminant les coefficients indéterminés, on à p équations de condition; si elles sont satisfaites, on à
