NUE M

De là, il résulte que les » facteurs de V doivent entrer dans

NU, et que p d’entre eux au moins doivent entrer dans U, puisque N est seulement de degré nr — p.

Pour p—1, on n’a qu'une équation de condition qui est l'équation finale cherchée.

On peut obtenir la forme générale du facteur commun, en remplaçant les polynomes M et N par d’autres M, et N, de degré moindre, et en annulant les coefficients des puissances supérieures de y dans N,UÙ — M, V; si l’on pose

Y) NiU — MiV = G07P + a yP-1+.. + ap,

le facteur commun à U et V de degré p sera précisément le second membre de (5), si les conditions pour que ce facteur existe sont satisfaites.

Exemple :

ÙU = 3+ &97?+ 427 + 43 = 0,

V Joe b17? SE b2Y an 3 — O0; si l’on pose

on à, en identifiant, Gi+ & = Bi +b:, as + Mat A = À + biBi+ bo, Ga œl+ A3 = biB2+ baBi+ Ds, An d2 + A0 = Va Br + Os fi,

Az Aa — Da Ba.

En éliminant «;, æ, B:, B+, on a l’équation finale

12 0 MMOG; — Di

a, OO Es — Da

Go Gi Da bi a3—03 | —0o.

Ga Gs D M Da O

O GRO Ds o

Pour avoir l'expression du facteur commun, on posera

(y + m)U—(y + B)V =my+n;,

Qt Qt

et l’on trouve Hit — B1 + bi, A4 + A3 = Bibi + Va, A2 + A3 = Bib2+ b3+ m,

da3 = Bibz+ nu;

z, et 5, sont donnés par les deux premières équations, et m et x par les deux dernières.

Pour trouver la condition pour qu’il existe un facteur commun du second degré, il suffit de poser m = n = 0; alors les conditions sont données en égalant à zéro les déterminants obtenus en prenant trois colonnes dans le Tableau

Hi di o (42 I bs la ba

A1 — UV; Go — Da (308 O

Ces quatre déterminants, que l’on peut ainsi égaler à zéro, ne fournissent que deux équations distinctes.

Si les équations ainsi obtenues sont satisfaites, on obtient le facteur commun du second degré en éliminant y* entre les deux équations données, ce facteur est

(a — bi )y? + (AG — ba) 7 + Ei— ba.

Méthode de Sylvester.

33. Cette méthode ne diffère pas, au fond, de la précédente. Elle consiste à multiplier les équations données par y, y?, y”, ... jusqu’à ce que l’on ait obtenu deux équations de degré m+n—1; on à alors » + n équations, entre lesquelles on élimine"y; 7°; 7°, ..., y"+#-1, en les considérant comme des quantités indépendantes entrant au premier degré. On obtient ainsi, en considérant les équations traitées au paragraphe précédent,

+ MI? + AY + A —=O, VIH MY$ + AJ? + asÿ = 0; Y$+ my" + &J$+ 437 =0,

el FT bir? + b2Y + 3 —0,

+ bI8+ b7?+ 037 = 0,

Le E biy* = En baY3 —— V3) 2 — 0, d’où l’équation finale

040 TROT re ds 0 VONT CE Ds 0 LRO te rs RO TO 0 0 Es DADITEUPRU D ATP IDE IOPMTO

I b, Le Lx O O

Cette équation devient identique à celle que l’on a trouvée tout à l’heure, si l’on échange la troisième ligne avec celle que l’on obtient en retranchant la sixième de la troisième, puis en supprimant la première colonne et la sixième ligne.

Si on laisse de côté la troisième et la sixième équation, on trouve