La substitution
peut servir, en choisissant convenablement , à faire disparaître un terme de l’équation. La formule de Taylor, en l’appliquant à
(5) f(x)=at+ ax 1+ ax +... + an-1X + An= 0,
donne, en effet,
| Se mes (6) « | RO ES OP
LÉeCOCIHGenRIen Test car (A) —raMercoericientide u"-l'est a +.nh; on le fera disparaître en Het
Le coefficient de uw’? est a@æ+(n—1)ah + Sn(n—1)h?;
et on pourra le faire disparaître de deux manières par des choix convenables de 2. En général, le coefficient de uw? pourra s’annuler pour p valeurs de 2 qui sont racines d’une équation de degré p. Si l’on veut annuler le dernierterme, il faudra résoudre une équation du degré 7, qui, au nom de l’inconnue près, sera identique à la proposée, ce qui s'explique en observant que faire disparaître le dernier terme, c’est exprimer que l’équation transformée à une racine nulle, ce qui revient à trouver les valeurs de À qui, soustraites des racines de [a proposée, donnent une différence nulle. Les valeurs de k en question sont donc les racines de la proposée.
Exemple : xi+Ax+Br+C—=o
se ramène à la forme + au + b—=0o
en posant
. alors
kk. En combinant les deux substitutions dont il vient d’être question, on obtient la suivante :
x=au+ À.
Nous examinerons le cas particulier (7) x=h—u.
Il peut arriver que l’équation en w, abstraction faite du nom de l’inconnue, soit identique à l'équation proposée: si æ; est alors une des racines de cette dernière, À — x, en sera une autre ; appelons-la +,; alors
(8) Li+ Lo = À;
comme +, est une racine arbitraire, l'équation jouira de cette
propriété que les racines ont deux à deux pour somme #, et, +. ; T : ; L 7 si l'équation est de degré impair, une racine sera égale à *
2 A L4 æ e Ld L L .
et le facteur x — ; Peut être éliminé par la division; nous
supposerons alors l'équation de degré pair.
Une telle équation peut être résolue à l’aide d’une équation de degré moitié moindre et d'équations du second degré. En effet, si l’on pose
(9) y=ax(h— x) ou 2?—hx+y=0 #- . r 7 P2) dans l’équation donnée (5), y n’aura que = valeurs ; car
Vi= Li — x) et Ya = La(h — Lo)
sont égaux en vertu de la relation x, + x:= 4.
Les fonctions symétriques des y seront aussi des fonctions symétriques des æ; cette considération permet de former l’équation en y; mais on peut aussi l'obtenir en éliminant x entre (5) et (9).
Si l’on peut résoudre l’équation en y, f(x) pourra se décomposer en = facteurs du second degré comme il suit :
Fa) = (hr EM) T7) (a Rx +Ya).
TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS. phe
On voit, en comparant cette valeur de f(x) avec (5) que 24 =—nh.
Si l’on veut vérifier qu’une équation jouit de la propriété en question, il n’y à qu’à voir si elle est inaltérée quand on 24;
change æ en — Hate
Exemple : L6— 9x$ + 302* — 4528 + 25x22 + 6x + 4 — 0.
Cette équation ne change pas quand on remplace x par 3 — æ; Si l’on élimine zx à l’aide de la relation
XSLT = 0,
on trouve VE PU 0,
qui se décompose en
Y—I1=0 el HV 0,
Équations réciproques.
#5. Si, dans une équation dans laquelle x est l’inconnue,
on fait la substitution [
(1) Li 0 on obtient une nouvelle équation dont les racines sont les inverses des racines de la proposée. Si l’on tombe sur une équation identique avec la proposée, celle-ci a ses racines deux à deux inverses l’une de l’autre; si elle est de degré pair et si elle est de degré impair, une racine devra être égale à +1. Dans ce dernier cas, on supposera que l’on ait écarté le facteur æ 1 par la division; alors l'équation peut être résolue au moyen d’une équation de degré moitié moindre et d'équations du second degré.
En effet, si l’on pose (2) MUR ou L?— AY +I=O, les valeurs de y
l I = di + — et = Let — Ji re J2 Re seront égales si 4,4,—1; y a donc moitié moins de valeurs que æ. On obtient l'équation en y, en éliminant x entre la proposée et (2).
La condition pour qu'une équation soit réciproque est
Li 4 g- il qu’elle reste inaltérée quand on y change x en no dans le cas
où l’équation est de degré pair, il faut que la suite des coefficients soit symétrique (le premier doit être égal au dernier, le second à l’avant-dernier, etc.). Si l'équation est de degré impair, la suite des coefficients doit être symétrique si l’on peut diviser le premier membre par æ +1; si le premier membre peut être divisé par æ — 71, la suite des coefficients doit être symétrique, à cela près que les coefficients numériquement égaux doivent avoir des signes contraires. La forme générale des équations réciproques de degré pair est donc
(3) 2+i+ (ait x) + a(r 2 x2)+...+ an = 0.
La réduction peut s’obtenir de la manière suivante : on divise par x” et l’on a
1 1 I (4) a+ pr + di (Ge se =) (er DE nel +... An = 0; on pose (0) EH vs
d’où
TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS. 79 et, en multipliant membre à membre ces deux formules,
LI + — = y — 57.
A En général, si l’on fait
(6) XP + 7 n — Sps
en multipliant par æ + - 04
(7) Sp+1—=ŸVSp—Sp—1;
formule qui permet de calculer successivement 53, 5,, 55, .. On obtient une formule générale pour le calcul de s, à l’aide de la théorie des fonctions symétriques. En effet, x et
= Sont racines de l’équation
Or on a trouvé [2#, (15)]
TT P( k
Sp =YP— pyPT2+ RCE ER
(8) | D nt 9 EE a din D M ON AL J
rp-2 +...
Quand le produit de deux racines quelconques d’une équation est égal à k, on abaisse cette équation par la substitu-
tion
k SRE ne) t
d'une manière analogue à celle qui permet d’abaisser les équations réciproques.
Exemple :
ÆT—1—=0; en divisant par æ—1,ona
Xi 2H at + 2ai+Xi+ XL +I=O,
80 CHAPITRE IY.
que l’on peut réduire à
W+uU?—2QU—1—= OO.
Exercice. — La substitution
A CtbU 1 Lu
Sp
peut être utilisée pour faire disparaître le deuxième et le troisième terme de l’équation du troisième degré.
Formation des équations dans lesquelles une racine est fonction de plusieurs racines d’une équation donnée.
k6G. Jusqu'ici, l'équation cherchée avait chacune de ses racines fonction d’une seule racine de la proposée. On peut aussi former des équations dont les racines soient fonctions de plusieurs racines de la proposée. Un exemple de ce cas à été traité lorsque nous avons cherché l'équation aux carrés des différences dans laquelle chaque racine est déterminée par deux racines de la proposée. D’une manière générale, on peut déterminer une racine de l’équation cherchée au moyen de la relation
1) x = Save rap).
On obtient alors toutes les racines de l’équation cherchée, en remplaçant les p racines æ qui figurent sous le signe f par les racines de la proposée de toutes les manières possibles; si l’on suppose que f soit une fonction rationnelle, cette fonction aura autant de valeurs qu’il y a de manières de prendre p racines parmi celles de la proposée. Si l’on représente les valeurs par fi, f:, ..., fu, l'équation cherchée sera
(2) CETOMESE Er)
Comme le premier membre de cette équation est une fonction symétrique de fi, fr, ..., fu, il Sera aussi une fonction symétrique des racines de la proposée et pourra s'exprimer
rationnellement en fonction de ses coefficients. L’équation cherchée aura donc ses coefficients rationnels, si les coefficients de la proposée sont eux-mêmes rationnels, et son degré sera le nombre des valeurs de la fonction f.
K7. On peut suivre une autre voie pour trouver l’équation cherchée et faire usage de l’élimination; mais on peut ainsi introduire des solutions étrangères dont il faut se débarrasser. Considérons, par exemple, l’équation générale de degré x et proposons-nous de trouver l'équation dont les racines sont données par la formule
