VENT ALI

où & est un nombre donné; on en tire

(4 ) Li=ÿ — ALe

et, Comme x, est racine de l’équation donnée f(x) — 0, (5) f(Y — 4x2) = 0.

Si l’on ordonne cette équation et si l’on écrit x au lieu de æ,, on à

(6) OPA NP Cr} 0:

Ces deux équations doivent avoir une racine commune, ce que l’on exprime en éliminant x; la résultante est l’équation cherchée en y.

On voit que les équations (6) auront une racine commune

quand on aura Y= Lp+ AL

ce qui n'exclut pas le cas où l’on aurait x, —x, contrairement à ce que l’on suppose : l’équation transformée aura donc

pour racines étrangères les valeurs de (1 + «)æx,; toutes ces quantités sont racines de

et pourront être écartées. Alors la résultante, qui était de 1 6

degré »?, pourra être réduite au degré #2 (7 — 1), etaura pour racines les valeurs de z7, + 4%, æ, et x, étant supposés différents.

Pour &—1, les racines de l’équation finale deviennent

égales deux à deux et, par une extraction de racine carrée,

UNE) nombre des va-

cette équation se réduit au degré leurs distinctes de æ, + æ3.

Plus loin, nous développerons une autre méthode qui permettra de faire usage de l’élimination sans introduire de solutions étrangères. ( Voir Calcul des racines imaginaires des équations numériques.)

D'une manière analogue, on voit que l'équation qui à pour racines les produits des racines prises deux à deux des racines de l’équation proposée s'obtient en éliminant x entre

(9) fosse à f(£)=e

la résultante admet comme racines étrangères les carrés des racines de la proposée.

48. On peut utiliser les relations qui existent entre les coefficients et les fonctions symétriques des racines pour écarter de l’expression donnée plusieurs racines et ensuite faire usage de l'élimination. Soit, par exemple, l’équation

LD + AL? + GT + As = O

UE Ti + Lo

Si l’on fait usage de la relation Lt Lot Lez = — qui donne — T1 1 DT Li + Li

on obtient l'équation cherchée en éliminant x entre la pro-

posée et T(Y +1) +YA = 0.

Si l’on voulait avoir, pour la même équation, l'équation aux carrés des différences, on aurait

J=(i-t) = (+ te) — frite = (as + da)? + x T3

et il faudrait éliminer + entre la proposée et

AY = A(u+x) + 4a3.

Méthode de Tschirnaüs pour faire disparaître des termes d'une équation.

49. Soit donnée l’équation (1) A + AN + QE +... + Gn1X + An =0;

posons

(2) Y = bo+ dix + bar? +... + 0, x,

où p < n. Si l’on élimine x entre (1) et (2), on obtient-une équation de degré x en y, car y a autant de valeurs que x. Pouréliminer +, on peut faire usage des méthodes exposées plus haut; on peut aussi procéder comme il suit : On élève (2) au carré, au cube, etc., en éliminant à l’aide de (1) les puissances de + supérieures à la (72 — r)iè%e, on obtient ainsi une série d'équations de la forme

DAC IG Car Eee, ui V= do+ dx + dix3+...,

se :

remplacons, dans ces équations, x successivement par toutes les racines de (1); en ajoutant les équations ainsi obtenues et en appelant s,, s,, ... les sommes des puissances semblables des racines de (1); S;, S2:, ... les sommes des puissances semblables des valeurs de y, on aura

/ St nb9 + bi51 + Dose +. be \s

2 — Co + C1 581 + Co So +. ..,

ds els brel dre es © s 010: 0e cles ed /9 0 0 6 4

Si» $», -.. pourront être calculés en fonction des coefficients de l’équation (1) et, inversement, les coefficients de l’équation cherchée pourront être calculés en fonction de S,,S;, ... à l’aide des formules connues. Les coefficients indéterminés Dos 01, -.., db, pourront être déterminés de manière à faire disparaître p coefficients de l’équation en y. Si l’on pose ainsi SO, Ds 0, SE 0;

on fera disparaître le deuxième, le troisième et le quatrième terme. La première équation est du premier degré, la deuxième du deuxième degré, la troisième du troisième degré par rapport aux coefficients indéterminés. On voit qu’il faudrait, en apparence, résoudre une équation du sixième degré pour faire disparaître ces trois termes; mais Terrard a montré qu'il suffisait pour cela de résoudre une équation du troisième degré.

La première équation S,— o est homogène et du premier degré en 0,, b1, ...; à l’aide de cette équation on peut éliminer un coefficient dans S, —0 et S, — o qui sont homogènes du deuxième et du troisième degré, et qui ne cessent pas de l'être après l’élimination du coefficient en question. Prenons p—=&4, on pourra disposer de cinq coefficients; S, est alors une fonction homogène du second degré de quatre d’entre eux et peut se mettre sous la forme (voër 50)

API + LpPi + asp} + AP},

Ci Cas C3, O, étant des nombres connus et p1, Pos Ps, Pi des fonctions linéaires homogènes des coefficients indéterminés. Si l’on pose

(5) AP + %2P3 = 0, GS PÈ + ap —0,

on obtient, au moyen d’extractions de racines carrées, deux équations linéaires, à l’aide de ces équations, on pourra faire disparaître deux coefficients indéterminés de S;=o; l’un d'eux est arbitraire, l’autre sera déterminé par une équation du troisième degré qui, résolue, fournira les valeurs des autres coefficients.

TRANSFORMATION- DES ÉQUATIONS. ets)

90. Nous avons admis qu’une fonction homogène du deuxième degré pouvait affecter une certaine forme particulière, et il nous reste à le prouver, ce qui se fait comme il suit :

Soient æy, Los +. Zn, R Variables; une fonction homogène du deuxième degré de ces variables peut se mettre sous la forme

ax? +2aPzxi +,

où æ est un Coefficient rationnel ou irrationnel et P et Q sont respectivement du premier et du second degré et ne contiennent pas æ,; celte expression peut se mettre sous la forme

(ax; + P} + Q — P?,

où Q — P? est une fonction homogène du deuxième degré qui ne contient pas +, et peut être traitée comme la précédente. in continuant ainsi, on décompose la fonction donnée en un nombre de carrés au plus égal au nombre des variables. Cette démonstration est en défaut lorsque tous les termes de la forme ax? manquent. Dans ce cas, la fonction est de la

forme L1La+ Ati + Br: = (2x1 + B)(x2 + A) — AB,

où À et B sont indépendants de x, et æ,; mais alors on a (Xi + B + Lo À }? — (Ti + B — X2 — À }? —= 4 (Xi + B)(x2 + A),

et nous pouvons, en introduisant deux carrés, nous débarrasser de deux variables.

Nous reviendrons plus loin sur cette question.

Si l’on applique la méthode précédente à l'équation du cinquième degré ou à l'équation aux inverses, on obtient les transformées

a+ ax + b = 0, aÿ + axt+ b — 0.