L’équation LPEEAT

où p désigne un nombre premier, peut étre résolue à l’aide

d'équations de la forme DOI.

En effet, l'équation proposée peut être résolue au moyen des suivantes

— . VAS LE —— LE: CIRE CENTER AE a 1 =

Si, en résolvant ces équations, on prend une racine quelconque, pourvu qu'elle ne soit pas égale à r, la valeur de x, à laquelle on parvient de cette manière, est une racine primitive de la proposée, sans quoi elle donnerait, pour l’une des

108 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE Iil.

quantités ©, &:, ..., la valeur 1, ce qui est contraire à nos hypothèses; on trouve, de cette manière, une racine primitive de la proposée, et ses puissances donnent les autres racines.

Nous venons ainsi de prouver que toute équation de Ja

forme VAL ii

peut être ramenée à des équations la forme

ÆP = &,

où p est un facteur premier de x, x étant déterminé comme on vient de le dire.

67. Les fonctions symétriques des racines de æ*—1—=0o sont faciles à calculer; on a, en effet,

Sp= XPH ab... + ah = PH aiP EU NETr,

ou

I — ap Sp CE nee | 1 — a?

a désignant une racine primitive. Si p n’est pas divisible par x, le numérateur de la fraction est nul, le dénominateur ne l’est pas, ainsi s,— o. Si p est divisible par », la fraction prend une forme indéterminée; mais chaque terme de 5, est égal à l’unité, donc s,— n. Il en résulte

St .

D Cie 0,

toutes les fois que a +6 +y+... n’est pas divisible par »; car une pareille fonction s’exprime sous forme de sommes de termes tels que s,5,5,..., qui sont nuls dès que les indices ne sont pas tous divisibles par x, et la somme des indices est égale à la somme des exposants de la fonction.

Application de la théorie des équations réciproques aux équations binomes.

68. L'application de la théorie des équations réciproques à l’équation binome permet d’abaisser le degré de cette équa-

L'ÉQUATION BINOME. 109 tion. Considérons l’équation (1) STE

où p désigne un nombre premier; tous les cas où p n’est pas premier pouvant se ramener à celui-ci.

Soit p—2n +1; en divisant par æ—1,0na