Toute puissance d’une racine de l’équation
DAL == 1 est une racine de cette équation.
Car si & est une racine de æ?=—=1, &P sera aussi une racine, DUISQUENGPIE (ar) 1r.
64. St p est un nombre premier, toutes les racines de LP=—I pourront être représentées par HR ES LUCE,
a désignant une quelconque des racines.
Comme tous les termes de cette suite sont racines, il suffit de montrer qu’ils sont tous inégaux. Or, si l’on pouvait avoir FAN 1108
où g > r, on aurait ainsi
a"(at—"—1)= 0,
et comme « n’est pas nul, & devrait être racine de TONI 0,
ce qui est impossible, car (62) 49 — r << p et l’équation précédente ne peut avoir d'autre racine commune avec la proposée que lunité. Si p n’est pas un nombre premier, plusieurs termes de la suite &, «?, «5, ... pourront être égaux, en sorte que cette suite ne fournira pas nécessairement toutes les racines.
On appelle racines primitives celles qui ne satisfont à aucune autre équation de la forme x1=1, où q est moindre que p. St p est un nombre premier, toutes les racines sont primitives, excepté l’unité. Si p n’est pas premier et si a est une racine primilive, toutes les racines sont comprises dans la suite à, «?, «?, ..., qui sont déterminées par des équations binomes. Si p est une puissance de nombre premier, toutes les racines sont primitives, à l'exception de celles dont l’exposant est une puissance de p inférieure au degré de l’équation. Ainsi — £ et +1 sont racines primitives pour p — 4, alors que —1 et +1 ne le sont pas, vu qu'ils sont racines de æ?— 1. Toutes les racines peuvent être représentées par o, HAMOL NO MIS ROUE EE RIT LS TO LISTES CRIS
On peut démontrer comme il suit qu'il existe pour toute valeur de x des racines primitives; si, en effet, toutes les racines pouvaient satisfaire à des équations de degré moindre que le degré de la proposée, on aurait pour chaque valeur de p
D DS MR DIT ps U
£ lè une plus simple expression. Z{ y a donc autant de racines primitives que de nombres entiers inférieurs à n et premiers
avec n ; ce nombre est, comme l’on sait, égal à
Pis Pas -.., PA étant les facteurs premiers de 7.
OÙ A,< A; Ce qui ne peut avoir lieu que si - est réductible à
65. Sim et n sont premiers entre eux, on obtient toutes les racines de x"#—1 en multipliant toutes les racines de tp toutes leNracines de nt EN.
En effet, si les arguments des racines de æ”"=1 et x"=t
L2PT 2T(qm + pr) 1} mit
Ce produit sera donc racine de æ”"—1; il reste à prouver
que tous les r2n résultats ainsi obtenus sont différents. S'ils
ne l’étaient pas, on aurait, par exemple,
son el TT l'argument de leur produit sera
qgm+pn = qim+pin ou HUME DIR D RCE
ce qui est impossible, car m et nr sont premiers entre eux et DR DEAN UE Jia
On voit facilement que ce théorème peut être étendu à un nombre quelconque d'équations binomes dans lesquelles les exposants de l'inconnue sont premiers entre eux. Les équations de la forme x"—1 peuvent donc être ramenées à d’autres dans lesquelles les exposants de l’inconnue sont des puissances de nombres premiers.
