CHAPITRE III, — L'ÉQUATION BINOME. EPL

soit le produit de deux facteurs rationnels; ces facteurs devront avoir leurs coefficients entiers; changeons + en æ +1, l'expression précédente prendra la forme

(6) ZP-I+ po(x)+p,

o(æ) désignant un polynome entier rationnel à coefficients entiers et divisibles par +; les termes indépendants de x dans les facteurs de (6) ayant pour produit p, et p étant un nombre premier, devront être égaux à 1 et à Ep; le produit en question aura donc la forme

(Ei+ax + ax2+...)(Ep+bix + bia +...):

retranchons des deux membres de l’équation SE pET ALT Par tr NN):

tous les termes de ce qui reste dans (6), à l’exception de æP—1, seront divisibles par p; il en résulte que b, est divisible par p, et ainsi de suite; en continuant ainsi, on arrive à une égalité de la forme

(1 x + Qœr?...)axb= xPTl+ poi(x),

d’où il résulterait que p devrait diviser le coefficient de x#, ce qui est impossible, puisqu'il est égal à Æ:; l’équation en question est donc irréductible.

Impossibilité de résoudre cette équation algébriquement.

70. On a vu que la résolution de l’équation du troisième et du quatrième degré réussit, grâce à cette circonstance qu’il est possible de trouver une fonction des racines possédant moins de valeurs qu’une racine même, et qui, par conséquent, dépend d’une équation de degré moindre. Lagrange a montré que lorsque l’on essayait d'appliquer les méthodes qui réussissent pour le troisième et le quatrième degré à des équations de degré supérieur, l'équation auxiliaire était de degré supérieur à celui de la proposée. II devenait ainsi probable que les équations générales de degré supérieur au quatrième ne pouvaient pas avoir de racines algébriquement exprimables en fonction des coefficients. Abel a montré qu'il en était réellement ainsi. Sa démonstration a été simplifiée par Galois. Nous allons exposer la démonstration de Galois en la modifiant dans la forme.

Si une équation générale du degré nr pouvait être résolue à l’aide de radicaux, il en serait de même de l’équation

A — (Li + Los. + Ln) ANT

«) SE Lido Le DL TTL ea A OS

OÙ Lis Lay ce. Æn SONt arbitraires et indépendantes les unes des autres. æ,, æ:, ..., æ, étant les racines del’équation, la résolution doit conduire à ces valeurs. Toute racine que l'on aura besoin d’extraire devra pouvoir s'effectuer quand

on remplacera les coefficients &;, &:, ... par leurs valeurs en UD Masse stlne

Maintenant, supposons que la première racine à extraire soit

y = VA:

À ne contient pas de radicaux, c’est une fonction des coefficients de l'équation, et, par suite, une fonction symétrique de Ti, Les -.., Æn. Mais y ne peut pas être une fonction symétrique rationnelle de æ,, æ:, ..., æ}», Sans quoi il s’exprimerait rationnellement au moyen des coefficients; si y n’est pas symétrique, il contiendra deux racines +, et æ:, qui, en se permutant, changeront la valeur de y; comme toutes les valeurs de y sont données par la formule