TRANS

l’une des valeurs doit se déduire d’une autre en la multi-

pliant par une valeur & de 1” différente de l'unité. Si donc JE: .)estlunedes valeurs def, onaura !

D DA LS Ch Le din)

Cette équation doit être identique, car æ, æ,, ... sont indépendantes les unes des autres; elle subsiste donc en permutant x, et æ,; On obtient alors

f(x, Lis Las Types Tn) = a f(x1; Las Lg, Lys ve) Ln);

en multipliant cette équation par la précédente, on a

On peut toujours supposer que p est premier, car on peut toujours parvenir à un radical à indice quelconque par des extractions successives de racines à indices premiers; alors on doit avoir r — 2, puisque dans ce cas seulement on peut avoir «——1. La première racine que l’on doit extraire est donc une racine carrée. y est une fonction rationnelle de x;, Toy +. Ln Qui change de signe quand on échange x, et æ:, ou même quand on échange deux racines quelconques, car

on peut supposer, avant l'extraction de la racine carrée, que l’on ait mis dans À, à la place de x, et +,, deux racines quelconques.

y n’est pas symétrique, mais il jouit d’une propriété caractéristique ; il reste invariable par une substitution circulaire effectuée entre un nombre impair de racines. Par exemple, quand on met æ; à la place de x», æ, à la place de æ3, æ3 à la place de x,, cela revient en effet à faire un nombre pair d'échanges entre deux racines, ce qui chaque fois produit un changement de signe, et ce qui finalement reproduit la valeur initiale.

Si l’on continue à combiner le radical avec des radicaux analogues et avec les coefficients, qui sont des fonctions symétriques des racines, puis avec de nouveaux radicaux, et ainsi de suite, deux cas peuvent se présenter : ou bien les nouvelles expressions présenteront ce caractère de rester inaltérées par toutes les permutations circulaires de 3 et 5 racines, ou bien on finira par être obligé d’extraire une racine, et le résultat obtenu ne présentera plus le caractère en question. Dans le premier cas, on finira par trouver