COR LANCER LAN CRT

Les trois premiers termes donnent toujours une permanence et une variation; on a deux racines positives et une racine négative quand b est positif, deux racines négatives et une positive quand b est négatif.

On rencontre souvent des suites de fonctions qui jouissent des propriétés caractéristiques des suites de Sturm, et l’on peut en profiter pour déterminer la nature des racines des équations obtenues en égalant ces fonctions à zéro; les exemples suivants mettront ce fait en évidence :

1° Dans la fraction continue suivante, où @;, &, ... sont positifs,

les dénominateurs des réduites sont liés entre eux parles re-

lations Qh+1 = XZQn— An-1Qn—1, Qo = 1, Qi — X.

On voit facilement que le premier terme de Q, est x” et que la suite

Q», 0:27 ver T, 1

jouit des propriétés de la suite de Sturm. Comme le second terme n’est pas la dérivée du premier, on ne peut pas en conclure qu’une variation se perd toutes les fois que le premier terme passe par zéro, mais dans le passage de — © à +, on perd x variations. Q, a donc dû s’annuler fois et, comme il est du degré nr, Q,— a toutes ses racines réelles.

Les théorèmes suivants se démontrent de la même facon.

2° La nième dérivée de la fonction

Î or mt

est de la forme Be

(1 LA x? )n+1 d

l'équation P,— 0 a toutes ses racines réelles. T Fe NU Re I+—2ATX + A l'équation Ü, — o a toutes ses racines réelles. 4° La nième dérivée de e-* est de la forme P,e-*; l’équation P,— 0 a toutes ses racines réelles. (Hermite.) bo Œ ebs

= Uo+ U- + Us I I

u —=(1—2ax + a?)

les polynomes w,, w,, u:, ... sont appelés polynomes de Legendre. #4, —=0o a toutes ses racines réelles; on trouve, en effet, en différentiant par rapport à «,

u—3(x—a)u'+(i—2ax+a)u"= 0, et en différentiant plusieurs fois de suite, puis en faisant « — 0, Un = (2H —1)Xuün-;—(n —1) Una, TAN ee Ut,

on peut terminer la suite à l’unité.

Application du théorème de Sturm aux racines imaginaires.

110. On a vu plus haut que si, dans une équation à coefficients réels ou imaginaires

f(s) A0; on posait BTE NU elle se partageait en deux autres AT—=\0; BI

qui pouvaient être regardées comme les équations de deux courbes dont les intersections étaient les points représentant les racines de l'équation. Nous allons nous proposer de trouver le nombre des points racines contenus dans un contour fermé. Pour plus de simplicité, nous supposerons qu’il s'agisse de trouver le nombre des racines contenues à l’intérieur d’un cercle de rayon r et dont le centre a pour coordonnées a et b. L'équation de ce cercle peut être remplacée par les deux suivantes :

de

DE 1 + é?

HAE ; Y=b+r ) qui, par l’élimination de £&, donnent l’équation du cercle.

La circonférence du cercle est parcourue dans un sens déterminé quand on fait varier £ de — © à +. En vertu du théorème de Cauchy, le nombre des points racines contenus à l’intérieur du cercle est la moitié de la différence du nombre de fois que AB passe du négatif au positif et du positif au négatif. Ces nombres sont les mêmes que celui de changements des variations que présentent À et B écrits l’un après l’autre, ou des permanences qu'ils présentent.

Remplacons maintenant æ et y par leurs valeurs en #, et multiplions À et B par un même facteur, de manière à les changer en deux polynomes entiers en € et premiers entre

eux.

Opérons ensuite sur ces polynomes comme on l’a fait plus haut sur f (+) et f(x), on obtiendra une série de polynomes. Cherchons combien il se perd de variations dans cette suite quand on fait varier & de — co à + w. Comme la suite ne peut perdre de variations que par son premier terme, chaque terme étant compris entre deux autres de signes contraires quand il s’annule, le nombre de variations perdues donnera la différence du nombre de fois que le produit des deux premiers termes passera du négatif au positif et du positif au négatif, et comme ces deux premiers termes ne diffèrent de À et B que par un même facteur, leur produit a le signe de AB. On voit ainsi que, pour chaque racine contenue à l’intérieur du cercle, il se perd deux variations (ou il s’en gagne deux).

Séparation des racines réelles.

111. D’après ce que l’on a vu, il est facile de voir si, entre deux nombres donnés, il y a un nombre pair ou impair de racines réelles. Mais, avant de procéder au calcul numérique des racines, il faut déterminer des intervalles qui ne comprennent qu’une racine. Il y a des cas particuliers où il est très facile de séparer une racine; par exemple quand tous les termes sont positifs, sauf le dernier, l'équation n’a qu’une racine positive, et celle-ci se trouve séparée. Si l’on remplace x par 7, 10, 100, ..., On peut déterminer deux de ces nombres comprenant la racine; on peut ensuite resserrer les limites jusqu’à ce que l’on ait renfermé la racine entre deux nombres entiers; on abrège le nombre des essais en déterminant une limite supérieure et une limite inférieure des racines.

Une méthode très sûre, mais très pénible pour la séparation des racines, a été donnée par Waring et, plus tard, par Lagrange; elle consiste à former l’équation aux carrés des différences des racines et à déterminer une limite inférieure de ses racines positives ; soit « cette limite; entre deux racines quelconques de l’équation proposée, on aura

Lp— 2j > Va;

si l’on forme alors la suite

Va, D Ya TS Val res

deux termes consécutifs de cette suite ne pourront comprendre plus d’une racine, car, s’il en était autrement, la différence de deux racines serait moindre que V/«.

Cette méthode suppose, bien entendu, l'équation débarrassée de ses racines multiples, sans quoi l’on trouverait QI 0,

On peut, toutefois, modifier la méthode de manière à n’avoir besoin de connaître que le dernier terme de l’équation aux carrés des différences; nous ne nous arrêterons pas davantage sur cette méthode, parce que le théorème de Sturm permet plus facilement la séparation des racines.

Pour séparer les racines, on forme la suite de Sturm et l’on remplace x successivement par des valeurs entre lesquelles on en intercale de nouvelles, jusqu’à ce que l’on parvienne à deux valeurs telles que, en passant de l’une à l’autre, la suite de Sturm ne perde plus qu’une variation. Les racines sont ainsi complètement séparées, et l’on peut, par de simples essais, resserrer l'intervalle comprenant une racine.

Exemple :

LH AB — KL — NX HI — oO.

La suite de Sturm est

A+ Ai— NX — x HI .... HI + + + — | + ER ee DE PIE UE | —| + —-|—- | + TA ROUE MSA ST tee ++ —|— + | + CRETE 0 TI A Re Re a LS AN SES, Nate