TR A UE SN PT HIHI
Ce Tableau montre que, dans le passage de — 2 à — 1, de 0 à 1, de 1 à 2, il se perd respectivement 2, 1 et 1 variations; l'équation à donc quatre racines réelles, les racines positives se trouvent séparées; pour séparer celles qui sont comprises
entre — 2 et — 1, on fera x = — : dans le premier membre
de l'équation proposée, et l’on obtiendra un résultat négatif: il en résulte qu’une des racines négatives est comprise entre —r1et —1,5, et l’autre entre — 1,5 et — 2.
Méthode de Fourier.
112. Le théorème de Sturm permet de séparer à coup sûr les racines, mais les calculs auxquels conduit cette méthode sont très prolixes. Une équation du sixième ou du septième degré avec des coefficients très simples conduit ordinairement à des résultats contenant cinquante chiffres et plus; aussi, dans la pratique, est-il souvent plus commode de faire usage du théorème de Budan.
On se souvient que la suite de Budan est PCT CE) AENMIUCT RE ESE
et l’on fait usage de cette suite comme de celle de Sturm; mais le nombre des variations perdues ne donne qu’une limite supérieure des racines comprises dans l'intervalle correspondant. Ainsi il peut se perdre deux variations quand un terme intermédiaire de la suite s’annule, sans pour cela que f(x) passe par zéro; cela arrive quand le terme nul est placé entre deux autres de même signe. Comme en passant de — à + æ on perd zx variations quand l’équation est de degré 7, l'équation à deux racines imaginaires toutes les fois qu’il se perd deux variations par suite du passage par zéro d’une des fonctions f'(x), f'(x).... On peut donc conclure de là que si, æ variant de a à b, la suite de Budan ne perd pas de variations, l'équation n’a pas de racine comprise entre a et b et que, si elle en perd une, il y à une racine entre a et b. Si elle en perd deux, ou bien l’équation a deux racines imaginaires, ou bien elle à deux racines réelles comprises entre a et b.
113. Supposons que l’on ait trouvé un intervalle dans lequel il se perde deux variations, et cela entre les trois pre-
miers termes; alors, en supposant f(x) positif pour les deux limites & et 6(B > x), on aura
f(a) f'(a), f'(a), (8), S'CB), F'(B),
Si nous supposons qu'il ne se soit pas perdu de variations dans le reste de la suite, f(x) —0o n’a pas de racine entre « et 6. f(x) est donc toujours positif dans l'intervalle; si f(x) reste également positif, la perte de deux variations doit indiquer l’existence de deux racines imaginaires. Des considérations géométriques vont nous permettre de nous rendre compte de ce qui arrive en général.
Comme les intersections de la courbe
avec l’axe des æ donnent les racines de l’équation f(x) = 0, il s’agit de trouver si entre x = «a et x —=f il existe deux ou zéro points d’intersection. Comme f(x) change de signe tandis que f’(æ) conserve son signe dans l'intervalle considéré, il doit y avoir dans cet intervalle un minimum et la concavité est tournée vers le haut; les deux cas sont représentés par les jig. 7 et 8.
Piment Fig. 8 ; / IN 4 d | | A TUE 5 à L
La première correspond au cas où il y a deux racines imaginaires, la seconde au cas où il y a deux racines réelles. Si les tangentes aux points limites se coupent au-dessus de l’axe des x, il y a nécessairement des racines imaginaires, mais la réciproque n’est pas vraie. On peut seulement dire
qu'il y a des racines imaginaires si
AT; + TB 2 AB, ou FEB) te) ) FO re ES
Je répète que, de ce que les tangentes ne se coupent pas au-dessus de l’axe des x, il ne faut pas conclure à l’existence ‘ des racines réelles, mais on voit que, si les racines sont imaginaires, on pourra toujours rapprocher les limites « et B pour que l'intersection des tangentes ait lieu au-dessus de l’axe des x. On resserrera alors l'intervalle compris entre et 5 jusqu’à ce que la relation (1) soit satisfaite, ou jusqu’à ce que la perte de deux variations soit remplacée par la perte d’une variation; dans le premier cas, on est en présence de
deux racines imaginaires; dans le second, on est en présence de deux racines réelles.
114. Maintenant, nous allons examiner le cas où, dans le passage de & à 5, la série perd d variations.
Laissons de côté le terme f(x), c’est-à-dire considérons f'(æ) = 0 comme l'équation donnée, alors on perdra d, variations; en considérant f(x) = 0 comme l’équation donnée, on en perdra d,, etc. Deux d consécutifs sont alors égaux ou différents d’une unité, Fourier appelle d, l'indice de f(P)(x).
Maintenant, considérons le premier indice de la série qui a pour valeur 1; soit d, cet indice, f(P/(xæ) —o a alors une racine entre «& et B; l'indice précédent doit être 2, car, s’il était égal à zéro, il devrait y avoir un indice antérieur égal à 1; l'indice suivant peut être 2, 1 ouo; s’il est 2 ou 1, on peut toujours subdiviser l'intervalle, de telle sorte que l'intervalle qui contient la racine de f(?}(æ) —o ne contienne pas de racine de f(?#) (x) —0o; pour les autres intervalles, on à
dp = 0,
et le premier indice : est à chercher plus à gauche dans la
suite; donc on n’a besoin de considérer que le cas où dote 2, ln, di 0;
ce cas est celui que nous avons examiné (113), et l’on peut décider si les racines de
sont réelles ou imaginaires; si elles sont réelles, on peut scinder l'intervalle en deux autres, contenant chacun une racine et, comme chacun a l'indice 1, on peut continuer de la même facon, si elles sont imaginaires, les deux variations doivent être perdues et quand une fonction suivante s’annule elle doit se trouver entre deux autres de même signe.
L’équation proposée doit donc aussi avoir deux racines imaginaires; si l’on en fait abstraction, on peut retrancher 2 de chacun des indices de la partie de la suite qui reste à étudier. Si l’on continue de cette manière, on peut rejeter le premier indice r vers un terme moins avancé dans la suite, et, quand on l’a ramené jusqu’au premier terme, la racine est séparée.
Exemple :
LS — Bxt—16028+ +122 — gx — 5 = 0.
On a
f(x) = 5xt— 2028 — 48x2+ 24x — 9,
TN ONRE
la limite supérieure des racines est 8. Dans l'intervalle o, 8 on perd trois variations; deux de o à 1, une de 7 à 8. Il y a donc une racine entre 7 et 8 qui se trouve séparée. L’'inter-
valle de o à 1 doit être examiné de plus près; les signes de la
suite sont Pour x=0: — — + — — +,
D L=I, — — — — — +, si l’on regarde o comme négatif; alors on a
li = D = RE 10)
FLD O RENE RE Lo NE
et l’on a les
- Le I il faut alors resserrer les limites; on pose 6 — à
signes
HD AS les variations se perdent donc de o à -; on trouve alors
d’où il résulte que les deux racines sont imaginaires. L’équation a encore deux racines négatives, l’une entre — 3 et — 2, l’autre entre — 1 et o.
115. Les racines imaginaires peuvent être séparées par la méthode donnée (110), ou encore en remplaçant le cercle par deux parallèles à l’axe des y, qui servent à séparer les parties réelles, ou par deux parallèles à l’axe des æ, qui servent à séparer les coefficients de &.
Théorème de Newton.
116. Newton a énoncé sans démonstration un théorème établi plus tard par Sylvester et généralisé par lui et qui corrige les indications du théorème de Budan, relatif au nombre des racines comprises entre deux limites données.
On considère une seconde suite dont tous les termes sont conjugués deux à deux avec celle de Budan. Lorsque dans la série de Budan on a une variation, les termes de la série conjuguée formant une permanence, nous dirons que nous avons une varialion-permanence et nous désignerons cette circon-
stance par le symbole V-P; l'équation f(x) —o étant de degré 7, les deux suites sont
f(x), 2x), JC) TP) — & JC) Fe), (1) fe) LPG)P—E fe) PE),
CR
fr (x), [ft (x) — RARE (Cr) RE (Er)
PROD (2) kp = I.
Pour abréger, nous désignerons f P) (x) par f,. Nous allons étudier les changements des V-P que l’on ren-
contre dans la double suite quand on fait croître æ; il faut remarquer que
(3) DER re Kp+1 Nous supposerons d’abord que deux termes consécutifs ne s’annulent pas en même temps.
Le nombre des V-P ne peut changer que quand un terme de l’une des deux suites passe par zéro.
Supposons que ce soit Le cas pour f,, le changement s’opérera entre les termes
Goes ; He Fan Kp=1 Fee Ts ne TE kp SÉRIE The , Dia ‘TF Kp+1 1 Ho ;
pour f, — o les signes des termes de Ia seconde suite sont DR et Uble m0
Si le signe du milieu est + on a une V-P, c'est-à-dire si f,; et 1e 13
fp+ sont de signes contraires; dans ce cas, dans la première suite, il y a une variation et une permanence, de sorte que, dans les trois paires de termes, il y a une V-P avant comme après l’annulation de f,.
Ceci n’a plus lieu quand c'est f(x) qui s’annule; dans la première suite une variation se change en permanence et les deux premiers termes de la seconde série sont positifs et forment une permanence; donc, en tout cas, il se perdra une V-P quand x passera par une racine de f(x) = 0, pendant qu’il ne se produit aucun changement dans les V-P quand un autre terme de la première suite s’annule.
Il reste encore à chercher si le nombre des V-P peut chanser quand les termes de la seconde suite s’annulent. La dé-
lIVÉCUON RME pape PIC
(2 ce Kp )fp fo TE Rotre re :
pour T,—=o,ona F2 kp f p-1 Æ . : ?
fp+1
et comme
2— kh = L]
K p+1 on peut mettre les dérivées sous la forme
d RE
KE p+1 To+ 1
(241 — Ro l)p lp)
où la quantité entre parenthèses est le terme suivant T,,, de la suite; on voit ainsi que si æ recoit un accroissement infiniment petit À à partir de la valeur qui annule T,, T, reçoit lui-même un accroissement qui a le signe de
f, (4) TER Dot Ho T, ne peut changer de signe que si j,=, et f, sont de mêmes signes. Si donc on a une V-P, f, doit avoir un signe opposé à ceux de /,,et f,-1. La première suite présente alors
les signes
de sorte que - est négatif et T, a le signe de P —T, 4.
Pour une valeur négative de k, c’est-à-dire avant le passage de T, par zéro, T, et T,,, forment une permanence qui, pour h positif, se change en variation; dans ce cas, il se perd une V-P; quand T,, a même signe que T,,,, il se perd aussi une permanence entre T,., et T,, et, dans le cas contraire, il s'en gagne une. On perd ainsi une V-P chaque fois que l’on passe par une racine de f(x) —=0; il s'en perd deux toutes les fois qu’un terme de la seconde série passe par zéro quand il est compris entre deux autres de même signe, pendant que le terme correspondant de la première série forme avec le précédent et le suivant une variation.
117. Nous avons supposé que deux termes consécutifs ne pouvaient pas s’annuler en même temps; s’il en était ainsi, les coefficients de f(x) devraient satisfaire à une équation de condition; alors, en changeant infiniment peu les coefficients, on pourrait ramener ce cas au précédent.
Ce changement n’altère pas les signes des termes des deux suites, pourvu que les valeurs limites de x n’annulent aucun terme. Un changement infiniment petit dans les coefficients ne peut altérer le nombre des racines contenues dans un intervalle donné, si, bien entendu, les valeurs limites ne sont pas racines; la méthode, même dans le cas qui nous occupe, fera connaître une limite supérieure du nombre des racines.
IL resite-encore à examiner le cas où f(x), f'(æx), ..., HR RS NN SAT ntentenC es ElerCcas OÙ pH LTACIRES sont égales. On trouve alors, comme à propos du théorème de Budan, que la première suite perd p variations ; supposons fp+1 positif; la première suite
f(x), Pa), ss JE A(x), FPCx), FE (x)
passe de
La seconde série n’a pour æ — h, dans ses p +1 premiers termes, que des permanences. Soit
16 Fr rm rat
l’un des termes; pouræ —/,ona
pe hp—r+1 hp—r+2 PEAR Ta en DER Se ei cr (Dre)
HOT nee Enr eau
de sorte que le signe de ce terme sera le même que celui de
1 kr
ou de 1e LM QUST —T+I
