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on n’a plus qu’une permanence ; l'équation n’a qu’une racine négative.
Le théorème de Newton donne
ainsi on a trois P-P. Pour trouver le nombre des racines positives, on change zen —xet l’on a
LB — LT + 4 RS — 882$ — Lt + 7x8 — 994%? — 1527 — 450 = 0;
dans les dernières permanences, les quotients Æ vont en diminuant, et la multiplication ne peut faire disparaître de permanences. L’équation a doncune ou trois racines positives, ce que nous apprend aussi la méthode de Newton.
Calcul des racines commensurables.
122. Une équation à coefficients fractionnaires peut toujours, comme on l’a vu (42), être remplacée par une autre à coefficients entiers, le premier terme ayant pour coefficient l’unité. Dans la suite nous supposerons toujours qu’il en est ainsi.
Une équation à coeficients entiers et dont le premier terme a pour coefficients l'unité ne saurait avoir de racines fractionnair'es.
Soit l'équation (1) 2H Mar 1 Ga 2 +. + An = 0.
Sila fraction irréductible # pouvait être racine de cette équa-
tion, on aurait
nm n—1 n—2 \ = — (as +at ++ du), ou Fil
4 — — (ar p=i ae pr>?q + ,, + Ang"), ce qui est impossible, vu que le premier membre est une fraction irréductible, tandis que le second membre est entier.
123. Si l’on veut alors calculer les racines rationnelles d’une équation, on peut d’abord la mettre sous une forme telle qu’elle n'ait plus que des coefficients entiers; le premier étant égal à r, elle n’a plus en fait de racines rationnelles que des racines entières, et nous allons montrer comment on peut déterminer ces dernières.
Soit (1) l'équation donnée et £ une racine entière, on à
EH QUE Qt 2 +... + an-ol? + An-it + An = 0;
il faut remarquer tout d’abord que £ est un diviseur de @,; on essayera donc les diviseurs de a,, et si aucun d’eux n’est racine, l'équation proposée n’a pas de racine entière.
Pour essayer le nombre #, on divisera l’équation précédente par é et, si l’on fait a, — fq»-1, On aura
CRM ON PER de le Mr CE Une D!
d’où il résulte que a;1 + gh-1 doit être divisible par £; appelons g,-: le quotient, on voit de même que &@;-2 + Qn-2 doit être divisible par #, et finalement on a
I + go = 0.
Dès que dans le courant des opérations un quotient g devient fractionnaire, le nombre £ essayé ne peut être racine. Au contraire, si tous les coefficients sont entiers et si l’on termine par g, ——1, le nombre essayé est racine et le premier membre de l'équation, débarrassé du facteur linéaire correspondant à cette racine, est
CL QG AG CT Qt car, en multipliant le polynome par æ — {, on trouve A — (qu + tal +. + (EQ pri — p)ATP +. + 1Q ni et comme Ap + Qp = 14p-1,
ou LIp-1— p = Ap;
on retrouve le premier membre de (1). L'exemple suivant rendra évidente la marche des calculs.
Exemple :
Essayons, par exemple, le nombre 3, on aura
3 ne divise pas 311 et ne peut être racine; essayons 12, on à
12 est racine et l’équation divisée par x — 12 donne Lt — 35x38 + 3x2 — 104x — 35 = 0;
en essayant æ —35,0ona
et l’on arrive à l’équation LI+3LX+I—O
qui n’a plus de racines rationnelles.
Pour diminuer le nombre des essais infructueux, il faut déterminer les limites des racines; on diminue ainsi le nombre des facteurs de a, à essayer en éliminant ceux qui sont compris en dehors des limites. Il faut ensuite observer que, si f (+) est divisible par æ — £, les nombres
