DUT

S° et 1 signifiant qu'on laisse toutes les lettres en place. Si

l’on à SH on a évidemment

STE ME SORA à

en sorte que l’on peut multiplier à gauche ou à droite les deux membres d’une égalité par une même substitution.

Exemple :

TA —— En Lys

q Ex Tr Li Lo LD TE 9 Li Lo La À,

par la substitution

devient Ty XL? + LÉ T3, soit je ( 3 1 ) ; Li La L3 on aura

ST — (e LE Li ni TS — (é FAR “) |

Li Lo La Ly Li Lo T3 Ty, : L3 Tr Li Lo To Lao La Xi] on er — ; a Li le on CE Li La X3 142. Si l’on considère la suite des substitutions

Fe S, S2, ne

le nombre total des substitutions de » lettres étant fini, on doit nécessairement retomber sur une substitution déjà obtenue : supposons, par exemple, que l’on trouve alors

Sa+8 — Ga ou SBSA — Sv,

cette formule prouve que la substitution S laisse invariable une permutation quelconque; ainsi

un TD [

et Æ désignant un entier quelconque SEB+a — Sa;

les puissances successives de S forment donc une suite périodique.

Si B est le plus petit entier donnant SP = 1, on dit que S est d’ordre G.

Si au lieu de S$-% on écrit S-*;on a

SEASETTE

On voit facilement que si S remplace la permutation @& par la permutation b, St remplacera b par a.

Soit 6 l’ordre de S et

B=ffis a=Ju;

f désignant le plus grand commun diviseur de & et 6. «, et 6, seront premiers entre eux. Pour déterminer l’ordre x de la substitution S%* posons

(Sa )z — 1 — SAR, d’où CE re sa 1 [A ea ;

à 8 il en résulte que 5, ou “ est la plus petite valeur de x, donc:

5h StS est d'ordre B, S% sera d'ordre ne le plus grand

sf

commun diviseur de « et 6. On remarquera que S*et S sont de même ordre si à et B sont premiers entre eux. Dans ce cas, les puissances de S*seront égales, à l’ordre près, à celles de S ; par exemple, si l’on pose

(SX)x — SP — SBY+P, on aura ax — $y = p,

équation qui à toujours une solution si & et 6 sont premiers entre eux.

DES SUBSTITUTIONS EN GÉNÉRAL. 239 Exemple. — Soit ds eacbd 2 ea bd Et DUe no A

on à

et S est du quatrième ordre; si l’on pose, par exemple,

on à SAUTER Lio,

et l’on a aussi

Si l’on applique cette substitution à la fonction

a3 + 3ab?— 2cde,

on à d3 + 3 de? — 2cab.

Substitutions circulaires.

143. Une substitution est dite circulaire, quand elle substitue à chaque lettre du dénominateur celle qui la suit et quand elle remplace la dernière par la première.

La substitution Ci 0e abde est circulaire, car elle remplace chaque lettre de « b de par

la suivante et la dernière e par a; une pareille substitution se représente encore par une suite de lettres entre paren-

thèses, ainsi

abcde

}=(« bride) = (020 died),

L'ordre d’une substitution circulaire est évidemment égal au nombre des lettres qu’elle déplace. Car, par une application répétée de cette substitution, on remplace successivement a par b c de a et, quand on à remplacé a par a, on obtient la substitution 1.

14h. Toute substitution est un produit de substitutions circulaires.

Prenons, en effet, une lettre arbitrairement au dénominateur de cette substitution, elle se trouve remplacée par une seconde, celle-ci par une troisième et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on tombe sur la première; ces lettres constituent une substitution circulaire ou un cycle. Si l’on opère de la même facon sur les autres lettres, on obtient de nouveaux cycles. Une substitution ou un cycle qui opère sur deux lettres est ce que l’on appelle une transposition; elle revient à l'échange de ces lettres; un cycle composé d’une seule lettre peut être négligé.

La substitution

s — RÉN ee OC DCE) r DR TErr er

peut se décomposer ainsi Du to) INDE er LRe) (COLE) EE),

où le dernier cycle formé d’une seule lettre peut être laissé de côté. Il est évident que l’ordre dans lequel on écrit les cycles est indifférent.

145. L'ordre d’une substitution est égal au plus petit multiple des ordres de ses cycles.

Soit, en effet, ah CoC1C2...

une substitution décomposée en ses facteurs circulaires, et

soit SE

comme les cycles sont relatifs à des lettres différentes, on a

Fee DT me SRE CT Gisele AE

La plus petite valeur que puisse prendre x est, d’après cela, le plus petit des nombres satisfaisant à la fois aux égalités précédentes.

Si tous les cycles de S sont de même ordre, cet ordre sera aussi celui de S, et une pareille substitution est dite régulière; il ne faut pas oublier que les cycles considérés doivent tous contenir des lettres différentes.

(ab)(cd) est une substitution régulière du second ordre, mais (ab)(bc)—(abc) est une substitution circulaire du troisième ordre.

146. Si S'est une substitution circulaire d’ordre B, S? sera une substitution régulière composée de f cycles, f désignant le plus grand commun diviseur de « et 6. Si « et 5 sont premiers entre eux, 5% sera elle-même circulaire.

Soit S— (a; a2 ... aB);

S remplace a, par a,+:1, S? remplace a, par a,.», …, S* rem- F P+1» y. pe

place a, par a,:43 Si l’on effectue la substitution S*, on ob-

tiendra d’abord un cycle

(4h Ap+o Ap+2a +..),

ou un indice. tel que p + æa devra être remplacé par le reste de sa division par 5, s’il est plus grand que 6. Alors, pour retomber sur la lettre &,, il faut que

p+ax=p+fy ou x—

où æ désigne le nombre des lettres du cycle. Si « et B sont premiers entre eux y = «, æ — f, et la substitution S est cir-

CUITE ST) AD DJ OU IAILOEC NE F et le nombre des

cycles est

Exemple :

S2 = (ace) (bdf), Si — (ad) (be) (ef), St — (aec) (bfd), S5 — (afedcb),