Si l’on considère une fonction de æ;, æ, æ3, par

exemple Li +2%9 + D T3;

on peut en déduire une autre Lo+ 2%X3 + 3%,

en remplaçant x, par æ:, æ: par x; et æ, par æ. L'opération par laquelle on remplace ainsi plusieurs lettres par d’autres est ce qu’on appelle une substitution: on représente cette opération au moyen de deux séries de lettres, chaque lettre placée au-dessus d’une autre indiquant qu’elle doit être substituée à cette autre; la substitution que nous avons effectuée ci-dessus pourra donc être représentée par le symbole

Tori lt É Lo .

et, comme l’ordre dans lequel s'effectuent les remplacements est indifférent, on peut sans inconvénient remplacer le symbole précédent par un autre obtenu en intervertissant l’ordre des lettres pourvu que les lettres placées dans une même

colonne verticale restent dans une même colonne. La forme la plus générale d’une substitution de z lettres

est alors \ s=(")

où A, et À, représentent des permutations différentes de » lettres. À, est le numérateur, À, le dénominateur de la substitution. La lettre qui en remplace une autre sera dite la remplaçante de cette autre.

Si on laisse A, inaltéré, on pourra remplacer A, par n! permutations, on a donc en tout 2! substitutions de À lettres;

l’une d’elles A (

qui laisse toutes les lettres en place se représente par le nombre 1.

Lorsque dans une substitution, au-dessus l’une de l’autre, figurent deux lettres identiques, on peut en faire abstraction et la substitution n’est en réalité qu’une substitution entre un moins grand nombre de lettres que 7.

Le symbole S Ao

exprime que la substitution S s’effectue sur l’arrangement A,;, ainsi 1% Ao = Ai.

Le produit de deux substitutions TS

représente la substitution qui résulte de la substitution S effectuée d’abord et de la substitution T effectuée ensuite;

par exemple, on à (1) (au) = (au) mn) A # A0

et l’ordre des facteurs ici n’est pas indifférent. Si l’on effectue p fois de suite la substitution S, on a une substitution finale que l’on représente par S?; alors