QUATRIÈME PARTIE. — CHAP. 1. — DES SUBSTITUTIONS, ETC
sent donc de signe par couples ; abstraction faite de p — qg, qui se change en g —p, le produit tout entier change donc de signe par la transposition (pq). Si donc le produit des transpositions employées est égal à 1, il faut que le produit des différences considérées ait changé de signe un nombre pair de fois, c’est-à-dire que le nombre des transpositions en question soit pair.
Quelle que soit la manière dont une substitution a été décomposée en un produit de transpositions, le nombre de ces transposilions est toujours de même parité.
En effet, supposons qu’un produit de #2 transpositions soil égal à un produit de À transpositions. Si l’on multiplie ces deux produits successivement par les 2 transpositions, on obtiendra un produit de m + n transpositions égal à 1; donc m + n est pair et, par suite, zx et nr sont de même parité.
On est donc conduit à considérer deux classes de substitutions : les unes sont un produit d’un nombre pair de transpositions; les autres sont un produit d’un nombre impair de transpositions; les premières sont dites posttives, les autres sont dites négatives, parce qu’elles ne changent pas ou changent le signe du produit de différences. On voit facilement qu’une substitution circulaire est positive quand elle opère sur un nombre impair de lettres, et qu’elle est négative quand elle opère sur un nombre pair de lettres. Si une substitution est décomposable en p cycles de n,, n:, ..., n, lettres respectivement, son signe sera celui de
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de sorte que la différence entre le nombre des lettres et celui des cycles sera pair ou impair, suivant que la substitution sera positive ou négative.
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Théorème de Lagrange.
158. On dit que des substitutions forment un groupe ou un système conjugué, lorsque le produit de deux quelconques de ces substitutions fait partie de leur système. Les puissances d’une même substitution, par exemple, forment un groupe. Les substitutions en nombre x! que l’on peut former avec z lettres forment également un groupe (le groupe général). Pour exprimer que le groupe G est formé des sub- = ULEURIDNE I 0102 cn .. OntéCriIt
Ge (t; 1: So, : A:
Le nombre des substitutions d’un groupe est l’ordre de ce eroupe, le nombre des lettres sur lesquelles il opère est son degré; l’ordre du groupe formé des puissances de S est égal à l’ordre de S.
159. St un groupe FT d'ordre y est contenu dans un groupe G d’ordre m, p est un diviseur de m (Théorème de Lagrange).
Supposons le premier groupe F formé des substitutions
E Si, So; Gr Su—1
soit T, une autre substitution de G, ce groupe G contiendra les substitutions
T:, S1 T1, So T1, tEnes Su1 T1;
si G contient encore d’autres substitutions, soit T, l’une d’elles, il contiendra
Le CT S2T>, ss. Su—1 T; et ainsi de suite. On obtient ainsi les substitutions de G ordonnées en des séries contenant chacune 2 substitutions et le théorème sera démontré, si l’on constate que toutes ces
substitutions sont différentes. S’il n’en était pas ainsi, on
aurait SaTg = So T8,
pour certaines valeurs de «, B, «, B,. Soit 6 >6,, on aurait TB = Sy Sa, TB, ce qui est impossible; en effet, le second membre fait partie des substitutions TS TR PR ul et Ts ne fait précisément pas partie de ces substitutions.
On verrait de même que les substitutions du groupe G peuvent être ordonnées en séries de la forme
TT SRI EN
Du théorème que nous venons de démontrer on tire les conséquences suivantes qui sont très importantes :
L'ordre dun groupe de degré n est un diviseur de n!
Car ce groupe est contenu ‘dans le groupe général.
L'ordre d’un groupe est divisible par l’ordre d’une quelconque de ses substitutions.
Car il contient le groupe formé des puissances d’une quelconque de ses substitutions.
Un groupe dont l’ordre est un nombre premier p ne conlient que des substitutions régulières d'ordre p (excepté la substitution 1). Si son degré est p, le groupe se compose des P puissances d’une substitution circulaire d’ordre p.
On voit aussi que
Les substitutions communes à deux groupes forment un £gr'oupe.
Car le produit de deux de ces substitutions appartient aux deux groupes.
ri . . , AS . L Les substilutions d’un groupe qui ne déplacent pas des lettres données forment un groupe.
Car si certaines lettres ne sont pas déplacées par deux substitutions elles ne le sont pas non plus par leur produit.
Toutes les substitutions d’un groupe qui sont échangeables avec une substitution donnée forment un groupe.
Substitutions permutables avec un groupe.
