OU STAT—TATS
S et T,'T sont alors échangeables. Soit UÜ une substitution quelconque échangeable avec S, et soit
TT
DES SUBSTITUTIONS EN GÉNÉRAL. 243 d’où LT UE
Cette substitution satisfait à (1), car T US(T;U)-! nl: ST;! —= S'n :
on voit donc que l’on oblient toutes les solutions de (1) en multipliant une solution particulière par les substitutions échangeables avec S.
Exemple :
S — (abc) (def); S2= (acb)(dfe); TS ET (Pci(ef).
Substitutions positives et négatives.
156. Une substitution quelconque peut étre décomposée en un produit de transpositions.
En effet, on peut, au moyen d’ure transposition, amener une lettre à la place qu’elle doit occuper définitivement; et l’on peut alors remplacer la substitution par une autre dans laquelle n'apparaît plus cette lettre; la nouvelle substitution pourra être traitée comme la première, et ainsi de suite. On a ainsi, par exemple,
(abcd) = (bd)(bc) (ad).
157. St le produit d’un certain nombre de transposttions “est égal à 1, le nombre de ces transpostitions est pair.
Soient «a, b, c, d, ... les lettres sur lesquelles on opère; considérons le produit
il change de signe par une transposition quelconque. Soient p, g, r des trois lettres, dans le produit entreront les facteurs +(p—r)et t(g—7r), dont le produit ne change pas par la transposition (pq). Les facteurs du produit considéré chan-
