I. OBJET DE CE MEMOIRE
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Le présent mémoire est uo essai de réponse à la question mise au concours par l'Académie en 1870 et en 1872, et relative à la théorie des équations aux dérivées partielles du premier et du second ordre.
MM. Imscbenetslvy et Graindorge ont publié, l'un et l'autre, sur ce sujet, d'excellentes monographies, qui nous ont permis de nous borner, dans ce mémoire, à la théorie des équations du premier ordre. Leurs écrits, en effet, contiennent un bon résumé des travaux des géomètres sur les équntions^du second ordre, à part les études récentes de MM. Darboux et Lie, qui n'ont d'ailleurs été publiées que par fragments.
Les mémoires de MM. Imschenetsky et Graindorge sont incomplets sur la théorie des équations du premier ordre (*). Nous avons donc cru répondre au vœu de l'Académie, en essayant de faire nn exposé des principales recherches des mathématiciens sur ce sujet, depuis Lagrange jusqu'à MM. Lie et Mayer.
Nous avons fait précéder notre travail d'une explication détaillée du plan que nous avons suivi.
[Conformément à l'avis des commissaires, chargés de juger notre mémoire, nous y avons fait un grand nombre de corrections et d'additions, qui sont placées entre crochets, ou signalées dans des notes spéciales.]
IL LISTE DES OUVRAGES ET MÉMOIRES CITÉS LE f LUS FRÉQUEMMENT (*
A. Traités de calcul intégral et monographies sur les équations aux dérivées partielles,
L Lacroix. Traité du calcul différentiel et du calcul intégral. Seconde édition. Tome II, 1814, pp. 527-604, 672-690; t. III, 1819, pp. 702-708. Paris, veuve Courcier.
IL BooLE. A Treatise on dilTerential Equations. Second édition. Cambridge and London , Macmillan and C", 1863. Un volume de 496 pages, avec un Supplément de 2ôo pages.
(* j Le mémoire de M. Graindorge contient, outre la théorie des équations du second ordre, les matières exposées dans nos §§ i (en partie), 3, 6, 16, 17, 18, 19, 20, 21. Celui de M. Imschenetsky contient, de plus, nos §§ 9 et 29, et un chapitre sur les équations canoniques de la dynamique. M. Graindorge a aussi publié à part un résumé des travaux des géomètres sur l'intégration des équations de la mécanique.
(**) Nous n'indiquons ici que les écrits cités assez souvent.
III. Serret. Cours de calcul différentiel et intégral. Tome II : ("alcul intégral. Paris, Gaulhier-Villars, 1808.
IV. Imscbexetsky : 1° Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, traduit du russe par Houel. Paris, Gauthier-Villars; Greifswald, Koch. 1869. Ce travail a paru d'abord dans les Archives de Grunert , l. L, pp. 278-474.
2° Élude sur les méthodes d'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre dune fonction de deux variables indépendantes, traduit du russe par Houel. Paris, Gauthier- Villars; Greifswald, Koch. Ce travail a paru d'abord dans les Archives de Grunert, 1872, t. LIV, pp. 209-360.
V. Grai.ndorge. Mémoire sur l'intégration des équations aux dérivées partielles des deux premiers ordres. Liège, Decq; Paris, Gauthier-Villars, 1872 (Extrait des Mémoires delà Société royale des sciences de Liège, 2°" série, t. V).
B. Mémoires de Lagrange et de Jacobi.
1. Lagkaxge, I. Sur l'intégration des équations à différences partielles du premier ordre {Mémoires de Berlin, 1772, p. 35; (X:uvres, t. III, pp. 549-577. Paris, 1869).
2. Sur les intégrales particulières des équations différentielles {Mémoires de Berlin, 1774, p. 239; OEuvres, t. IW, pp. 5-108. Paris, 1869). Nous ne citons quune partie de l'article V: Des intégrales particulières des équations aux différences partielles, avec des remarques nouvelles sur la nature et sur l'intégration de ces sortes d'équations , pp. 62-89.
5. Sur différentes questions d'analyse relatives à la théorie des solutions particulières {Mémoires de Berlin, 1779, pp. I2I-I60; OEuvres, t. IV, pp. 585-634). Nous ne citons que l'article V : Sur
l'inlégralion des équations aux dérivées partielles du premier ordre {Mémoires de Berlin, 1775, pp. 152-160; OEuvres, t. IV, pp. 624-634).
4. Méthode générale pour intégrer les équations aux différences partielles du premier ordre, lorsque ces différences ne sont que linéaires {Mémoires de Berlin, 1785 , pp. 174-190).
5. Leçons sur le calcul des fonctions. Nouvelle édition. Paris, Courcier, 1806. Leçon 20, pp. 553-400.
6. Théorie des fonctions analytiques. Nouvelle édition. Paris, Courcier, 1815. Chap. XVI, pp. 152-164.
II. Jacobi. 1. Ueher die Intégration der parliellen Differentialgleichungen ersler Ordnung [Journal de Crelle, t. II, pp. 317- 329).
2. Ueher die Pfaffsche Méthode, eine gewôhnliche lineâre Difierentialgleichung zwischen 2n Variabeln durch ein System von n Gleichungen zu integriren (Ibid., pp. 347-357).
3. Ueher die Réduction der Intégration der parliellen Difï'erentialgleichungen ersler Ordnung zwischen irgend einer Zahl Variabeln auf die Intégration eines einziges Systems gewohnlicher Differenlialgleichungen {Ibid., t. XVII, pp. 97-162).
Ce mémoire a été traduit en français : « Sur la réduction de rintégration des équations différentielles partielles du premier ordre entre un nombre quelconque de variables à l'intégration d'un seul système d'équations différentielles ordinaires » (Journal de Liouville, t. III, pp. 60-96; 161-201).
Nous citons la traduction française, en indiquant en même temps les paragraphes.
4. Dilucidationes de aequationum differentialium vulgarium systematatis earumque connexione cum aequationibus differentialibus partialibus linearibus primi ordinis {Journal de Crelle, t. XXIII, pp. 1-104).
( vn )
5. Nova metlioduS; aequationos differentiales partiales primi ordinis inter numerum variabilium quemcunque propositas integrandi {Ibid., t. LX, pp. 1-181 ; reproduit dans le t. III des OEuyres de Jacobi, pp. 429-509). Nous citons les paragraphes.
6. Vorlesungen ùber Dynamik von C.-G.-J. Jacobi nebst fùnf hinterlassenen Abhandlungen derselben , herausgegeben von A. Clebsch. Berlin, Reimer, I86().
m. NOTATIONS ET CONVENTIONS SPECIALES.
I. Lorsqu'une variable z est fonction explicite ou implicite des variables indépendantes Xi,Xi,... nous désignons ses dérivées par rapport à x,, Xj, etc.. par les notations
dz dz dXi dXf
contrairement à l'usage de Jacobi, qui emploie, dans ce cas, les
notations
Sz 9s
cl réserve les d pour les dérivées des fonctions dune seule variable.
Nous employons les notations
£? , iL (2)
pour désigner les dérivées d'une fonction explicite f (x,, x,, ...) de X,, X,, ... par rapport à la lettre x,, à la lettre x,, etc., sans nous inquiéter si X|, x»,... sont indépendantes l'une de l'autre ou
( Vill )
non. Les deux notations peuvent être équivalentes dans certains cas; la notation (4) sert à désigner une expression qui ne dépend pas de la forme des relations qui existent entre z, Xj, Xj, ...; c'est l'inverse pour la notation (2).
