Soit l'inéquation

(1) Sî!>„.

dans laquelle f{x) et ^(a:) sont des polynômes entiers en x.

Je remarque d'abord qu'une racine de FéquatioQ

p6ut être solution de l'inéquation (1).

Soit

{x - i)ix - 2)

Tous les nombres supérieurs à 2 rendent le numérateur posilif. Le dénominateur étant toujours positif ou nul, pour a; = 3 le premier membre de l'inéquation devient + oo; 3 est une solution. Le contraire peut également se présenter.

Soit

Tous les nombres compris entre 1 et 3 rendent le numérateur négatif. Le dénominateur étant toujours positif ou nul, pour a; = 2 le premier membre de l'inéquation est — oo; 2 n'est pas une solution.

Cette remarque faite, faisons abstraction des solutions de l'inéquation qui sont racines de Téquation

Dans cette hypothèse, l'inéquation

est équivalente à l'ensemble des deux systèmes

En effet, soit a une solution de l'inéquation (1). Par hypothèse, <p(a) n'est pas nul. F(a) ne l'est pas non plus, car alors on aurait

et a ne serait pas une solution de l'inéquation (1),

Les deux quantités F(a) et cp(a), dont le quotient est positif, sont donc de même signe, a est une solution de l'un des deux systèmes (2).

D'ailleurs, réciproquement, toute solution de l'un des systèmes (2) est évidemment une solution de l'inéquation (1). Par conséquent, l'inéquation (1) est équivalente à l'ensemble des deux systèmes (2).

Conséquence : Pour résoudre une inéquation de la forme (1), on pourra résoudre séparément les deux systèmes (2), examiner ensuite SI certaines racines de <p(aî) = sont des solutions de Tinéquation et, si le fait se présente, joindre ces solutions à celles des deux systèmes.

63. Remarque. — Rappelons -nous que, de l'étude précédente, il résulte que les deux inéquations

F{x).<f{x)>0 et ^>0

peuvent ne pas être équivalentes ,

Des relations conditionnelles.

64. Nous désignerons sous ce nom toute relation de Tune des deut^

formes

F(a?) > f{x), Fix) < f{x),

c'est-à-dire toute relation qui est, soit une inéquation, soit une équation entre les deux mêmes fonctions.

Nous appellerons solutions de la relationy l'ensemble des solutions de l'inéquation et des racines de l'équation.

Deux relations conditionnelles seront équivalentes, lorsqu'elles admettront les mômes solutions.

65. Théorème. — Lorsqu'on ajoute une même quantité aux deux membres (Tune relation conditionnelle ou qu'on retranche une même quantité des deux membres d*vne relation conditionnelle, on a une relation équivalente.

Ce théorème est une conséquence des théorèmes 34 et 52.

66 Corollaire. — Lorsqu'on fait passer un terme d'un membre dans l'autre, en changeant son signe, on a une relation équivalente.

67. Corollaire. — Une relation conditionnelle étant donnée, on peut toujours en trouver une autre équivalente de la forme

68. Théorème. — Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une relation conditionnelle par une même quantité qui ne contient pas Vinconnue et qui n'est m nulle, ni infinie, ni négative, on obtient une relation équivalente (voir n*« 38 et 55).

rHÉonÈHE, — Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres 'elation conditionfielle par «ne même quantité qui ne contient pa» lue et qui n'est ni nullb, ni tkfikib, ni positive, et que l'on le sens de l'inéquation contenue dans la relation, on a une relauivalente (voir n"' 38 et 56).

ItEUAnQui;. — On pourra chasser les déaominaleurs d'une 1 conditionnelle, dans les mêmes circonstances que pour les lions.

FtsiuRanE. — F{x) et if(x) étant des polyndmes entiers en x, ^on

les mêmes solutions que l'ensemble des deux systèmes

fEUARQnE. — F(ir) et ç(a;) étant des polyndoics entiers en x, ion

on fait abstraction de celles des solutions qui sont racines de on

ivalente à l'ensemble des deux systèmes

î{a;)>Oj (<p(a:)<Û.

n considère toutes les soluiioos de l'inéquaiion (1), on consis peine qu'elles sont des solutions de l'un ou l'autre des sys-

F(a:)>Ol (F(x)<0

f{x)Xi] (?{«)< 0;

réciproque n'est pas vraie, car une racine de l'équatioii

être pas une suluUon de la relation (4).

Eaxmples :

i^ Soit la relation

^^^lil^S^>0 (voirnoeî).

3, qui est une solution des systèmes (2), n'est pas solution de la

relation (1).

20 Soit

Le premier membre est en réalité (â? — 2).

L'inéquation n'admet pas la solution ce := 1 ; c'est cependant une solution des systèmes (2).