RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ

76. Si Ton désigne par a et 6 des quantités algébriques quelconques, et si Ton suppose a j^ (lisez : différent de zéro), tout polynôme du premier degré, entier en Xj est de la forme

ax -h b.

Il s'ensuit que toute équation du premier degré est de la forme

a et 6 sont dits les coefficients de l'équation. Je me propose de résoudre l'équation (1).

Puisqu'on a a ^ Q, en obtient une équation équivalente (38) en divisant par a les deux membres de cette équation. Ceci donne l'équation

qui est équivalente (36) à la suivante :

Or, cette dernière admet évidemment la racine unique . L'équation (!) admet donc une racine unique, donnée par la fomnile

Remarque. — Si 6 = 0, la racine est zéro.

Application. — Soit l'équation

On a

L'équation admet la racine x = — ^ ~ 5*

tKKUQDC — Soit l'équation

(pression f{x) — f'(œ) e^t un polyndme entier eaœ, du preigré, celte équation pcnt être résolue, car les équations

f{x) - rix) =

livalentes, et nous savons résoudre la seconde.

CATIOHS :

it l'équation

iquivaut à

Kl-

ition admet la racine x = — z'

•qve. — On aurait simplifié les calculs en chassant les dé:i^

rs(39).

(X - a){x -b) = {x- b){x + fc) - {x - o)(o - b).

f{a.) - f{x) = - 2ftx + 2a6 + 6» - o\

ition

- ibx + 2a6 + 6» - o» =

ralenle à la proposée.

t 0, cette équaliua est du premier degré.

Elle a une seule racioe :

L'équatioD (I), dans l'hypothèse b ^ 0, admet doDC la m unique

'78. Bekarquk. — Nous pouvons mânie résoudre toule équai de la forme

qui, sans être équivalente à une équation du premier degré, fou celte équation quand on opère comme aux a"* 43, 46 et 49.

Rappelons que, puisque l'équivaleoce peut ne pas exister, uoe cussion est nécessaire.

Applications :

1° Soit l'équation déjà examinée au n" 46 :

Chassons les déuominaleurs en multipliant les deux membres pi

Après avoir divisé par 9 les deux membres de l'équalion obten nous trouvons

x{a -+■ 6) - 2(iô = 0.

Si l'on a a -\- b jt Q, celte équation est dii premier degré. I admet la racine unique

Or, nous avons vu (46) que la multiplication par a{x) a fait pcr la racine x ^ <x> . D'ailleurs, on constate sans peine que cette opi tion n'a pas introduit de racine étrangère.

Par conséquent, l'équation (i) admet les deux racines

dans l'hypothèse a + b j± 0.

aat au carré les deux membres de cette équation, on trouve,

iimpUlication,

ant encore uoe fois au carré, il vient

G équation a une seule racine : x= S.

Heurs, on sait (49) que l'équation (2) admet toutes les racines

luation (1) ; on sait de plus qu'elle peut admettre des racines

ères,

a résulte que l'équation (1), ou bien admet la racine x =: &,

a n'a pas de racine.

ime la valeur 5, donnée à x, tiansforme l'équation (1) en

é, cuttft équation a une seule racine :

appliquant le même calcul à l'équation

v/ic- i - i/x- i = 3,

produit l'équation (S). Le nombre 3 ne satisfaisant pas à l'équa- 3), cette équation n'a pas de racine.

Remarque. — Citons entin une dernière catégorie d'équations a résolution sera désormais possible.

iposons qu'après avoir fait passer tous les termes du second )re dans le premier, on ait une équation de la forme

et <f{x) étant des polynômes entiers en x du premier degré.

is avons vu (42) que l'équation (i) admet pour racines celles

ijuations :

Or, on peut résoudre ces équations. L'équation (1) peut donc être résolue.

Application.

L'équation {x - a){x - 6) =

a pour racines celles des équations

05 — a = et « — 6 =5 0,

c'est-à-dire les nombres a et 6.