V + 8 NI

- in -

Les solutions de (1) sont tous les nombres définis par X' < X < 1' ; celles de (2), tous les nombres extérieurs à l'intervalle

celles de (3), tous les nombres extérieurs àj'intervalle

Gomme on a (127)

les solutions du problÈme sont données par

X'<X<0 et 1<X<X'.

Remarque. — Dorénavant, nous pourrons résoudre toutes les questions du genre de la précédente, pour lesquelles on trouvera des inéquations du premier et du second degré.

Bésolution d'une Inéquation de l'une des deux formes

dans lesquelles les fonctions F{x) et f(x) sont du second degré.

173. Cette question pourrait se ramener (S9 et 62) à celle de la recherche de l'ensemble des solutions des deux systèmes

F{x)>Ol {F(x)«i

nx)>0\ IfixXO.

Meus il est préférable d'étudier dii-ectemeot le signe de la fonction qui compose le premier membre de l'inéquation donnée, après avoir mis les fonctions F{x) et f{x) sous une forme remarquable (121) et avoir classé les racines des équations

F(ic) = 0, nx) = (i,

a'il y a lieu.

Les applications suivantes suffisent à faire comprendre la méthode et à indiquer la marche à suivre dans les différents cas qui peuvent se présenter.

Pour éviter le» calculs préliminaires, je considère les inéquations dans lesquelles les fonctions F{x) et f{x) sont les fonctions étudiées au n* 167.

1® Soit rinéquation

[(X - l)a;« - 2a; - X]{x^ - Xa: -)2 > 0.

Nous avons le tableau suivant :

D Ql

te

O ta

vy

sYv

\Xx

yx + gYv

te

RÉSOLUTION D'UN SYSTÈME FORMÉ D'UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ ET DUNE OU PLUSIEURS INÉQUATIONS

175. Proposons-nous de trouver les nombres qui satisfont sin)uI-< tfcnément à une équation du second degré et à une ou pluaieurs: inéquations que l'on sait résoudre.

Ces nombres sont à la fois des racines de l'équation et des solutions, des inéquations. Nous les appellerons les solutions du système.

1" R peut arriver que l'équation ait ses racines imaginaires. D peut aussi se faire que le système des inéquations n'ait pas de solution. Dans ces deux cas, le système proposé n'a évidemment pas de solution.

2° Supposons que l'équation ait ses racines réelles et que le système des inéquations ait des solutions. Ces solutions sont les nombres compris dans certains intervalles que nous savons déterminer, et pour qu'une racine de l'équation soit une solution du système, il faut et ilsufSt qu'elle appartienne à l'un de ces intervalles.

R résulte de là que l'on aura les solutions du système en comparant les racines de l'équation aux valeurs limites des intervalles et conservant toute racine qui se placera dans l'un quelconque de ces. intervalles.

176. Rkharoub. — Cette méthode s'applique encore à la résolution' d'un système dans lequel des inéquations sont remplacées pair des. relations conditionnelles.

177. Rbuarqub. — Soient a et p les limites d'un certain intervalle. Si la résolulion du système des inéquations et des relations conditionnelles donne parmi les résultats

tt < a; ^ p,

■ ne peut pas être unn solution du système proposé; mais p peut l'être.